Опорный конспект. Тема: Расстояние от точки до плоскости.
Актуализация опорных знаний. Вспомним как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Вспомним, как называются отрезки AM - ? АН - ? МН- ? Точка – H?
Рис 1. Рис 2.

Вопрос:
А как же определить расстояние от точки до плоскости? Рассмотрим плоскость а и точку А ∉ α (рис. 2). 1) Через точку А проведем прямую а ⊥ α, а ∩ α = Н,
АН - перпендикуляр, Н - основание перпендикуляра;
2) Отметим в плоскости α произвольную точку М, отличную от Н.
AM - наклонная
, проведенная из А к плоскости α,
НМ - проекция на плоскость α.
3) Докажите, что АН < AM;
Запишите вывод.

Работа с учебником
. Рассмотрите рис. 52 или рис 3 в конспекте, стр. 41 учебника, 2 абзац сверху прочитать.
Запишите вывод.
- Назовите наклонные и перпендикуляр по рис. 3. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: Если а || α, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости (рис. 4).
Расстоянием между прямой и плоскостью называется

расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми.( рис 5) Если а и b скрещиваются, пусть М ∈ b. Проведем а 1 || а. Через
Расстоянием

между

скрещивающимися

прямыми

называется расстояние между одной из них и плоскостью ,проходящей через другую прямую,

параллельно первой прямой.
Расстоянием между параллельными плоскостями (рис 6) ,
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от

произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости
. Длина отрезка АВ - расстояние между: 1) плоскостями α и β; 2) прямой а и плоскостью α; 3) прямыми а и b.
Тема: теорема о трех перпендикулярах
. Задача: Д а н о: AD ^ (АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6. Определите вид Δ АСВ. Найдите DC и DB.
AD – перпендикуляр к плоскости, DC – наклонная, AC – проекция этой наклонной на плоскость (АВС). По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через основание наклонной – точку С. Вы доказали, что
и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ.
Работа с учебником. Стр42 запишите теорему. Вопрос: Что же дано в этой теореме? Дано: АН ⊥ α, AM - наклонная к плоскости α (рис. 7). НМ - проекция наклонной, а ∈ α, а ⊥ НМ. Значит а ⊥ AM. Вопрос: О каких же трех перпендикулярах идет речь в теореме?
Три перпендикуляра: а, НМ, AM.
Обратная теорема:
Прямая,

проведенная

в

плоскости

через

основание

наклонной

перпендикулярно

к

ней,

перпендикулярна и к ее проекции.
Дано: АН ⊥ α, AM - наклонная к плоскости α, НМ - проекция наклонной, а ∈ α, a ⊥ AM. Значит а ⊥ НМ.
Задача № 139.
Из некоторой точки проведены две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию. Выполним чертеж. Рис 8. Дано: АН ⊥ α, АВ и АС наклонные; а) АВ = АС; б) ВН = НС; в) АВ1 >АС (рис. 8). Доказать: а) ВН = НС; б) АВ = АС; в) В1Н > СН. 1. Верно ли утверждение: «Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной»? (Выполни рисунок) 2. Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной»? (Выполни рисунок .)Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется? Запишите утверждение в тетрадь.
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то

она проецируется на его плоскость в центр вписанной окружности
. Д а н о: ML ^ АВ, MN ^ АС, МK ^ ВС, МО ^ (АВС).Доказать, что О – центр вписанной в Δ АВС окружности.Решение: ( ) . наклонная проекция MOABC MLAB OLAB M L O L ^ ^ � ^ - - 2) Аналогично ОK ^ ВС, ON ^ АС. 3) OL = OK = ON (как проекции равных наклонных). 4) Точка О равноудалена от всех сторон треугольника, следовательно, является центром вписанной в него окружности. 2. Запишите обратное утверждение
: «Если через центр вписанной в n-угольник окружности

проведена прямая, перпендикулярная плоскости этого n-угольника, то каждая точка этой

прямой равноудалена от сторон этого n-угольника».




Урок по теме: РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Ц е л и:
ввести понятие расстояния от точки до плоскости; перпендикуляра к плоскости из точки; наклонной, проведенной из точки к плоскости; основания наклонной; проекции наклонной; рассмотреть связь между наклонной, её проекцией и перпендикуляром. Показать применение этой теоремы при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент II. Актуализация опорных знаний ДИКТАНТ. 1. Теоретический опрос (фронтальная работа с классом). 1.1. Угол между прямыми равен 90°. Как называются такие прямые? (Перпендикулярные.) 1.2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?» (Да.) 1.3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она...» (перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости). 1.4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? (Они параллельны.) 1.5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, ... (параллельны.) 1.6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Возможный ответ: как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой. Верно. 1.7. (Рис. 1). Вспомним, как называются отрезки AM - ? АН - ? Точка М? Точка – H? 1.8. А как же определить расстояние от точки до плоскости?
III. Изучение нового материала
1. Вводится понятие перпендикуляра к плоскости, наклонной, проекции наклонной на плоскость. Рассмотрим плоскость а и точку А ∉ α (рис. 2). Учитель вычерчивает рис. 51 учебника на доске, учащиеся в тетрадях. 1) Точку А, прямую а ⊥ α, а ∩ α = Н, АН - перпендикуляр, Н - основание перпендикуляра; 2) Отметим в плоскости α произвольную точку М, отличную от Н. AM - наклонная, проведенная из А к плоскости α, НМ - проекция на плоскость α. 3) Докажите, что АН < AM; - чему равен ∠ MHA? ∠ MHA= 90°, ⇒ ΔAHМ прямоугольный, АН - катет, AM - гипотенуза, поэтому АН < AM. Вывод. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. 4) Рассмотрите рис. 52, стр. 41 учебника, 2 абзац сверху прочитать.
2. Вводится понятие расстояния от точки А до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью, расстояние между скрещивающимися прямыми. Что называется расстоянием от точки А до плоскостиα?
Расстоянием от точки А до плоскости а называется длина перпендикуляра, проведенного из

точки А к плоскости а (рис. 3).
- Назовите наклонные по рис. 3.- Назовите перпендикуляр. Вычертить чертежи 4-7 в тетрадях. Учитель рассказывает по чертежам (или по готовой таблице). Если α || β, то все точки плоскости α равноудалены от другой плоскости. Пусть проведем тогда Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости. Если а || α, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости (рис. 4).
Расстоянием

между

прямой

и

плоскостью

называется

расстояние

от

произвольной

точки

прямой до плоскости.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из из

них и плоскостью (рис. 5), проходящей через другую прямую, параллельно первой прямой.

Если а и b скрещиваются, пусть М
∈
b. Проведем а1 || а. Через
Из произвольной Записываем в тетрадях и на доске вывод (рис. 6): - скрещивающиеся. Длина отрезка АВ - расстояние между: 1) плоскостями α и β; 2) прямой а и плоскостью α; 3) прямыми а и b.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
I. Актуализация знаний. 1. Д а н о: AD ^ (АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6. Определите вид Δ АСВ. Найдите DC и DB. AD – перпендикуляр к плоскости, DC – наклонная, AC – проекция этой наклонной на плоскость (АВС). По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через основание наклонной – точку С. Вы доказали, что и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ. Сможем ли мы доказать это утверждение без метрических данных? 3.
Докажем теорему о трех перпендикулярах
. Теорема:
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции

на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
. Вопрос: Что же дано в этой теореме? Дано: АН ⊥ α, AM - наклонная к плоскости α (рис. 7). НМ - проекция наклонной, а ∈ α, а ⊥ НМ. Доказать: а ⊥ AM.
Доказательство: АН ⊥ а, так как АН ⊥ α ⇒ а ⊥ β по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ⇒ а ⊥ AM по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Вопрос: О каких же трех перпендикулярах идет речь в теореме?
Три перпендикуляра: а, НМ, AM.
Обратная теорема:
Прямая,

проведенная

в

плоскости

через

основание

наклонной

перпендикулярно

к

ней,

перпендикулярна и к ее проекции.
Дано: АН ⊥ α, AM - наклонная к плоскости α, НМ - проекция наклонной, а ∈ α, a ⊥ AM. Доказать: а ⊥ НМ. IV. Применение знаний в стандартной ситуации
Задача № 139
Из некоторой точки проведены две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию. Выполним чертеж, решим задачу устно. Дано: АН ⊥ α, АВ и АС наклонные; а) АВ = АС; б) ВН = НС; в) АВ1 >АС (рис. 8). Доказать: а) ВН = НС; б) АВ = АС; в) В1Н > СН. Доказательство: Рассмотрим ΔАВН и ΔАСН: АН - общий катет; а) АВ = АС гипотенузы ⇒ ΔАВН = ΔАСН по гипотенузе и катету, значит, ВН = НС; б) аналогично ΔАВН = ΔАСН по двум катетам (I пр.) ⇒ АВ = АС; в) из неравенства треугольника. 3) АВ1 - АС > 0, так как АВ1 > АС1; А1В - АН > АС – АН; А1В > АС.
Задача 145.
Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что ΔCBD прямоугольный. б) Найдите BD, если ВС = a, DC = b. Дано: ΔАВС, ∠ C = 90°, AD ⊥ плоскости; ΔАВС, ВС =a, DC = b (рис. 9). а) Доказать, что ACBD - прямоугольный. б) Найти: BD. Решение: а) АС проекция наклонной DC на плоскости ΔАВС. ВС ⊥ АС по условию ⇒ ВС ⊥ DC по теореме о трех перпендикулярах, значит, ΔCBD - прямоугольный; б) Из ΔBCD ∠ С = 90° по теореме Пифаго ВД= √ ВС + СД
№ 143
Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного ΔABC равно 4 см (рис. 10). Найдите расстояние от токи М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

Решение:
По условию МА = MB = МС = 4 см. Пусть МО ⊥ ABC, тогда ОА = ОВ = ОС, как проекции равных наклонных. Значит, О - центр окружности, описанной около ΔABC, а ОА - радиус этой о к р у ж н о с т и . а 3 = R √ 3 , г д е А В = а 3 , R = А О п о э т о м у Из ΔМАО: (Ответ: 2 см.)
№ 140.
Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены две наклонные АВ и АС равные и перпендикуляр АО. Известно, что ∠ AOB = ∠ ВАС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Дано: наклонные, (рис. 12). Найти: ВС. Решение: против ∠ 3 0 ° л е ж и т а т е т 3 ) ΔABC, ∠ BAC = 6 0 ° , А В = А С п о у с л о в и ю , А С = 3 с м . Δ А В С равнобедренный ΔABC - равносторонний. ВС = АВ = AС = 3 см. (Ответ: 3 см.)  №
150
. Д а н о: ABCD – прямоугольник, АK ^ (АВС), KD = 6 см, KВ = 7 см,KС = 9 см. Найдите ρ (K, (АВС)), ρ (АK, CD). Решение 1. ρ (K, (АВС)) = АK. 2. ( ) . проекция наклонная AKABC ABCB KBCB A B K B ^ ^ � ^ - - 3. Δ KВС – прямоу гольный. CB = 2 2 9742 -= см. 4. Δ AKD – прямоугольный. AK = 2 2 6(42) - = 2 см.5. ρ (АK, CD) = АD; AD = 4 2 см.
II. Устная работа.

Рис1. Рис2.
1. Верно ли утверждение: «Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной»? (Верно.) Обоснуйте ответ.( рис1) 2. Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной»? (Неверно.) Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется? (Прямая не принадлежит плоскости.) (рис2)
. Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проецируется на его плоскость в центр вписанной окружности. Д а н о: ML ^ АВ, MN ^ АС, МK ^ ВС, МО ^ (АВС). Доказать, что О – центр вписанной в Δ АВС окружности. Доказательство1) ( ) . наклонная проекция MOABC MLAB OLAB M L O L ^ ^ � ^ - - 2) Аналогично ОK ^ ВС, ON ^ АС. 3) OL = OK = ON (как проекции равных наклонных). 4) Точка О равноудалена от всех сторон треугольника, следовательно, является центром вписанной в него окружности.