Автор: Немчинова Татьяна Анатольевна Должность: учитель математики Учебное заведение: КОУ "Средняя школа №4 (очно-заочная)" Населённый пункт: Омск Наименование материала: конспект Тема: Расстояние от точки до плоскости Раздел: полное образование
Опорный конспект. Тема: Расстояние от точки до плоскости.
Актуализация опорных знаний. Вспомним как определяется расстояние от точки до прямой на
плоскости? Вспомним, как называются отрезки AM - ? АН - ? МН- ? Точка – H?
Рис 1. Рис 2.
Вопрос: А как же определить расстояние от точки до плоскости?
Рассмотрим плоскость а и точку А
∉
α (рис. 2). 1) Через точку А проведем прямую а
⊥
α, а ∩ α = Н,
АН - перпендикуляр, Н - основание перпендикуляра;
2) Отметим в плоскости α произвольную точку М, отличную от Н. AM - наклонная , проведенная из
А к плоскости α, НМ - проекция на плоскость α.
3) Докажите, что АН < AM; Запишите вывод.
Работа с учебником . Рассмотрите рис. 52 или рис 3 в конспекте, стр. 41 учебника, 2 абзац сверху
прочитать. Запишите вывод. - Назовите наклонные и перпендикуляр по рис. 3.
Расстояние
между
прямой
и
параллельной
ей
плоскостью:
Если
а
|| α,
то
все
точки
прямой
равноудалены от этой плоскости (рис. 4). Расстоянием между прямой и плоскостью называется
расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми.( рис 5) Если а и b скрещиваются, пусть М
∈
b.
Проведем
а
1
||
а.
Через
Расстоянием
между
скрещивающимися
прямыми
называется расстояние между одной из них и плоскостью ,проходящей через другую прямую,
параллельно первой прямой.
Расстоянием между параллельными плоскостями (рис 6)
,
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от
произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости .
Длина отрезка АВ - расстояние между: 1) плоскостями α и β; 2) прямой а и плоскостью α;
3) прямыми а и b.
Тема: теорема о трех перпендикулярах .
Задача: Д а н о: AD
^
(АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6. Определите вид Δ АСВ. Найдите DC и DB.
AD – перпендикуляр к плоскости, DC – наклонная, AC – проекция этой наклонной на плоскость (АВС).
По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через основание наклонной
– точку С. Вы доказали, что и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ.
Работа с учебником. Стр42 запишите теорему. Вопрос: Что же дано в этой теореме?
Дано: АН
⊥
α, AM - наклонная к плоскости α (рис. 7). НМ - проекция наклонной, а
∈
α, а
⊥
НМ.
Значит а
⊥
AM. Вопрос: О каких же трех перпендикулярах идет речь в теореме?
Три перпендикуляра: а, НМ, AM. Обратная теорема:
Прямая,
проведенная
в
плоскости
через
основание
наклонной
перпендикулярно
к
ней,
перпендикулярна и к ее проекции. Дано: АН
⊥
α, AM - наклонная к плоскости α, НМ - проекция
наклонной, а
∈
α, a
⊥
AM. Значит а
⊥
НМ.
Задача № 139. Из некоторой точки проведены две наклонные.
Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных
равны, то равны наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую
проекцию. Выполним чертеж. Рис 8.
Дано: АН
⊥
α, АВ и АС наклонные; а) АВ = АС; б) ВН = НС; в) АВ1 >АС (рис. 8).
Доказать: а) ВН = НС; б) АВ = АС; в) В1Н > СН.
1. Верно ли утверждение: «Если прямая, принадлежащая плоскости,
перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и
самой наклонной»? (Выполни рисунок)
2. Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то
эта прямая перпендикулярна наклонной»? (Выполни рисунок .)Какое условие
теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется?
Запишите утверждение в тетрадь. Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то
она проецируется на его плоскость в центр вписанной окружности .
Д а н о: ML
^
АВ, MN
^
АС, МK
^
ВС, МО
^
(АВС).Доказать, что О – центр вписанной
в Δ АВС окружности.Решение:
(
)
.
наклонная
проекция
MOABC
MLAB
OLAB
M L
O L
^
^
�
^
-
-
2) Аналогично ОK
^
ВС, ON
^
АС. 3) OL = OK = ON (как проекции равных наклонных).
4) Точка О равноудалена от всех сторон треугольника, следовательно, является центром вписанной в
него окружности.
2. Запишите обратное утверждение : «Если через центр вписанной в n-угольник окружности
проведена прямая, перпендикулярная плоскости этого n-угольника, то каждая точка этой
прямой равноудалена от сторон этого n-угольника».
Урок по теме: РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
Ц е л и: ввести понятие расстояния от точки до плоскости; перпендикуляра к плоскости из точки;
наклонной, проведенной из точки к плоскости; основания наклонной; проекции наклонной;
рассмотреть связь между наклонной, её проекцией и перпендикуляром. Показать применение этой
теоремы при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний
ДИКТАНТ.
1. Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).
1.1. Угол между прямыми равен 90°. Как называются такие прямые? (Перпендикулярные.)
1.2.
Верно
ли
утверждение:
«Прямая
называется
перпендикулярной
плоскости,
если
она
перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?» (Да.)
1.3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она...» (перпендикулярна
к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости).
1.4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? (Они
параллельны.)
1.5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, ... (параллельны.)
1.6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Возможный ответ: как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра,
проведенного из точки к данной прямой. Верно.
1.7. (Рис. 1).
Вспомним, как называются отрезки AM - ? АН - ? Точка М? Точка – H?
1.8. А как же определить расстояние от точки до плоскости?
III. Изучение нового материала
1. Вводится понятие перпендикуляра к плоскости, наклонной, проекции наклонной на плоскость.
Рассмотрим плоскость а и точку А
∉
α (рис. 2).
Учитель вычерчивает рис. 51 учебника на доске, учащиеся в тетрадях.
1) Точку А, прямую а
⊥
α, а ∩ α = Н, АН - перпендикуляр, Н - основание перпендикуляра;
2) Отметим в плоскости α произвольную точку М, отличную от Н. AM - наклонная, проведенная из А
к плоскости α, НМ - проекция на плоскость α.
3) Докажите, что АН < AM; - чему равен
∠
MHA?
∠
MHA= 90°,
⇒
ΔAHМ прямоугольный, АН -
катет, AM - гипотенуза, поэтому АН < AM.
Вывод. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной,
проведенной из той же точки к этой плоскости.
4) Рассмотрите рис. 52, стр. 41 учебника, 2 абзац сверху прочитать.
2.
Вводится
понятие
расстояния
от
точки
А
до
плоскости,
расстояние
между
параллельными
плоскостями,
расстояние
между
прямой
и
параллельной
ей
плоскостью,
расстояние
между
скрещивающимися прямыми.
Что называется расстоянием от точки А до плоскостиα?
Расстоянием от точки А до плоскости а называется длина перпендикуляра, проведенного из
точки А к плоскости а (рис. 3). - Назовите наклонные по рис. 3.- Назовите перпендикуляр.
Вычертить чертежи 4-7 в тетрадях. Учитель рассказывает по чертежам (или по готовой таблице).
Если α ||
β,
то
все
точки
плоскости α равноудалены
от
другой
плоскости.
Пусть
проведем
тогда
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки
одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
Если а || α, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости (рис. 4).
Расстоянием
между
прямой
и
плоскостью
называется
расстояние
от
произвольной
точки
прямой до плоскости.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из из
них и плоскостью (рис. 5), проходящей через другую прямую, параллельно первой прямой.
Если а и b скрещиваются, пусть М
∈
b. Проведем а1 || а. Через
Из произвольной
Записываем в тетрадях и на доске вывод (рис. 6):
-
скрещивающиеся.
Длина отрезка АВ - расстояние между: 1) плоскостями α и β;
2) прямой а и плоскостью α; 3) прямыми а и b.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
I. Актуализация
знаний.
1. Д а н о: AD
^
(АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD =
6.
Определите вид Δ АСВ.
Найдите DC и DB.
AD – перпендикуляр к плоскости, DC – наклонная,
AC – проекция этой наклонной на плоскость (АВС).
По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через
основание наклонной – точку С.
Вы доказали, что и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ.
Сможем ли мы доказать это утверждение без метрических данных?
3. Докажем теорему о трех перпендикулярах .
Теорема:
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции
на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной .
Вопрос: Что же дано в этой теореме?
Дано: АН
⊥
α, AM - наклонная к плоскости α (рис. 7). НМ - проекция наклонной, а
∈
α, а
⊥
НМ.
Доказать: а
⊥
AM.
Доказательство: АН
⊥
а, так как АН
⊥
α
⇒
а
⊥
β по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости,
⇒
а
⊥
AM по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Вопрос: О каких же трех перпендикулярах идет речь в теореме?
Три перпендикуляра: а, НМ, AM.
Обратная теорема:
Прямая,
проведенная
в
плоскости
через
основание
наклонной
перпендикулярно
к
ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
Дано: АН
⊥
α, AM - наклонная к плоскости α, НМ - проекция наклонной, а
∈
α, a
⊥
AM.
Доказать: а
⊥
НМ.
IV. Применение знаний в стандартной ситуации
Задача № 139
Из некоторой точки проведены две наклонные.
Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных
равны, то равны наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую
проекцию.
Выполним чертеж, решим задачу устно.
Дано: АН
⊥
α, АВ и АС наклонные; а) АВ = АС; б) ВН = НС; в) АВ1 >АС (рис. 8).
Доказать: а) ВН = НС; б) АВ = АС; в) В1Н > СН.
Доказательство:
Рассмотрим ΔАВН и ΔАСН: АН - общий катет;
а) АВ = АС гипотенузы
⇒
ΔАВН = ΔАСН по гипотенузе и катету, значит, ВН = НС;
б) аналогично ΔАВН = ΔАСН по двум катетам (I пр.)
⇒
АВ = АС;
в) из неравенства треугольника.
3) АВ1 - АС > 0, так как АВ1 > АС1; А1В - АН > АС – АН; А1В > АС.
Задача 145. Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена
прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что ΔCBD прямоугольный.
б) Найдите BD, если ВС = a, DC = b.
Дано: ΔАВС,
∠
C = 90°, AD
⊥
плоскости; ΔАВС, ВС =a, DC = b (рис. 9).
а) Доказать, что ACBD - прямоугольный.
б) Найти: BD.
Решение:
а) АС проекция наклонной DC на плоскости ΔАВС. ВС
⊥
АС по условию
⇒
ВС
⊥
DC по теореме о
трех перпендикулярах, значит, ΔCBD - прямоугольный;
б) Из ΔBCD
∠
С = 90° по теореме Пифаго
ВД=
√
ВС
+
СД
№ 143
Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного ΔABC равно 4 см (рис. 10).
Найдите расстояние от токи М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.
Решение: По условию МА = MB = МС = 4 см. Пусть МО
⊥
ABC, тогда ОА = ОВ = ОС, как проекции
равных наклонных. Значит, О - центр окружности, описанной около ΔABC, а ОА - радиус этой
о к р у ж н о с т и .
а 3
=
R √ 3 ,
г д е
А В
=
а 3 , R =
А О
п о э т о м у
Из
ΔМАО:
(Ответ: 2 см.)
№ 140. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены две наклонные АВ и АС равные и
перпендикуляр АО. Известно, что
∠
AOB =
∠
ВАС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между
основаниями наклонных.
Дано:
наклонные,
(рис.
12).
Найти: ВС. Решение:
против
∠
3 0 ° л е ж и т
а т е т
3 )
ΔABC,
∠
BAC =
6 0 ° ,
А В
=
А С
п о
у с л о в и ю ,
А С
=
3
с м .
Δ А В С
равнобедренный
ΔABC - равносторонний. ВС = АВ = AС = 3
см. (Ответ: 3 см.)
№
150 .
Д а н о: ABCD – прямоугольник, АK
^
(АВС), KD = 6 см, KВ = 7 см,KС = 9 см. Найдите ρ (K,
(АВС)), ρ (АK, CD). Решение 1. ρ (K, (АВС)) = АK.
2.
(
)
.
проекция
наклонная
AKABC
ABCB
KBCB
A B
K B
^
^
�
^
-
-
3. Δ KВС – прямоу
гольный. CB =
2
2
9742
-=
см.
4. Δ AKD – прямоугольный. AK =
2
2
6(42)
-
= 2 см.5. ρ (АK, CD) = АD; AD = 4
2
см.
II. Устная работа.
Рис1. Рис2.
1. Верно ли утверждение: «Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна
проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной»?
(Верно.) Обоснуйте ответ.( рис1)
2. Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта
прямая перпендикулярна наклонной»? (Неверно.)
Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется? (Прямая не
принадлежит плоскости.) (рис2)
.
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проецируется на его плоскость в
центр вписанной окружности.
Д а н о: ML
^
АВ, MN
^
АС,
МK
^
ВС, МО
^
(АВС).
Доказать, что О – центр вписанной
в Δ АВС окружности.
Доказательство1)
(
)
.
наклонная
проекция
MOABC
MLAB
OLAB
M L
O L
^
^
�
^
-
-
2) Аналогично ОK
^
ВС, ON
^
АС.
3) OL = OK = ON (как проекции равных наклонных).
4) Точка О равноудалена от всех сторон треугольника, следовательно, является центром
вписанной в него окружности.