Алгебра 8 класс

Учитель математики

Савельева Ольга Николаевна

МАОУ «СОШ № 30»

г .Стерлитамак, Республики

Башкортостан

2018 г.

Презентация к факультативному

занятию по теме

«13 способов решения квадратного

уравнения».

У.У.Сойер:"Человеку изучающему

алгебру, часто полезно решить одну и

ту же задачу тремя различными

способами, чем решать три-четыре

различные задачи. Решая одну задачу

различными способами, можно путем

сравнения выяснить, какой из них

короче, эффективнее. Так

вырабатывается опыт".

Решить уравнение

Х

2

+4x-5=0



1СПОСОБ. Разложение левой

части уравнения на множители.

Решим уравнение х

2

+ 4x – 5 = 0.

Разложим левую часть на множители:

x

2

-x+5 х – 5 = 0

;

( х

2

– х ) + ( 5 х – 5) = 0

;

х ( х – 1 ) + 5( х – 1 ) = 0

;

( х – 1 )( х +5 ) = 0

Тогда х

1

= 1 и х

2

= - 5

Ответ: 1; -5



2СПОСОБ. Метод выделения

полного квадрата.

Решим уравнение х

2

+ 4х – 5= 0.

х

2

+4x=5;

х

2

+ 2



2х=5;

х

2

+ 2



2 х +4=5+4;

( х + 2 )

2

=9.

Следовательно,

х + 2= 3

или

х +2= - 3

х

1

= 1

х

2

= -5

Ответ: 1; -5



3СПОСОБ.Решение квадратных

уравнений по формуле.

1)Уравнение ах

2

+ bх + с = 0, а ≠ 0, имеет корни

Решим уравнение х

2

+ 4х – 5= 0, а ≠ 0.

x

1

=-4+ 16-4



1(-5)= -4+ 36 = -4+6 =1

2



1 2 2

x

1

= -4- 16-4•1(-5)= -4- 36 = -4-6 = -5

2



1 2 2

Ответ: 1; -5

2)Уравнение ax

2

+2kx+c=0, a=0 имеет корни

x

1,2

=

Решим уравнение x

2

+4x-5=0,a>0;k=2.

Ответ: 1; -5



4СПОСОБ.Решение уравнений с

использованием теоремы Виета.

х2 + px + q = 0.

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при

а =1 имеет вид

x

1

x

2

= q,

x

1

+ x

2

= - p.

Применим этот способ к нашему уравнению

x

2

+4x-5=0.

x

1

+x

2

=-4, x

1

=1,

x

1

•x

2

=-5; x

2

=-5.

Ответ: 1; -5

ах

2

+ bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а

2

х

2

+ аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у

2

+ by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у

1

и у

2

найдем с

помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х

1

= у

1

/а и х

2

= у

2

/а.



5СПОСОБ.Решение

уравнений

способом

«переброски».

Применим этот способ к нашему

уравнению:

х

2

+ 4х –5= 0 , ах = у, а=1.

у

2

+ 4у – 5= 0

По т.Виета у

1

= 1,у

2

= -5.

Значит , x

1

=1,x

2

=-5.

Ответ: 1; -5

Рассмотрим другое уравнение

2x

2

+3x+1=0;

4x

2

+6x+2=0;

y

2

+3y+2=0;

D=9-4



1



2=1

x

1

=-1, x

2

=-1/2

Ответ:-1;-1/2



6СПОСОБ.Свойства

коэффициентов квадратного

уравнения.

ах

2

+ bх + с = 0, a=0.

1)Если a+b+c=0, то x

1

=1,x

2

=c/a.

2) Если a-b+c=0, то x

1

=-1,x

2

=-c/a.

Применим этот способ к нашему

уравнению:

х

2

+ 4х -5 = 0.

а + b + с = 0, 1 + 4 – 5= 0

х

1

= 1,

х

2

= с/а = -5/1= -5.

Ответ: 1; -5



7СПОСОБ: Графическое решение

квадратного уравнения.

Если в уравнении х

2

+ рх + q = 0 перенести

второй и третий члены в правую часть, то

получим

х

2

= – рх – q.

Построим

графики зависимостей

у = х

2

и у = – рх – q.

(рис.1)

1)Если прямая и парабола пересекаются в

двух точках, то уравнение имеет два

решения.

2) Если прямая и парабола пересекаются в

одной точке, то уравнение имеет одно

решение.

3)Если прямая и парабола не

пересекаются, то уравнение не имеет

решений.

1)

2)

3)

Решим графически уравнение х

2

+ 4х – 5=

0.

x

2

=-4x+5

Построим y=x

2

и y=-4x+5

Прямая и парабола пересекаются в двух точках

абсциссами х

1

= 1, х

2

= -5

Ответ: 1; -5



8СПОСОБ.Решение квадратных

уравнений с помощью циркуля и

линейки.

1)Построим точки S ( -b/2a ; (а+с)

/2a )(центр окружности) и А (0 ;

1).

2)Проведем окружность с

радиусом SA;

3)Абсциссы точек пересечения

этой окружности с осью ОХ

является корнями исходного

квадратного уравнения.

Решим уравнение х

2

+ 4х – 5= 0.

1. Определим координаты точки центра

окружности по формулам:

S ( - b/2a ;(а+с )/2a )

х = - b/2a = -4/2 = -2

у = (а+с) /2a =(1+(-5)):2 = - 2

S ( - 2 ; - 2) и А ( 0 ; 1 ).

2. Проведем окружность с R = SA , где А ( 0 ; 1 ).

R=

3.

Абсцисса точек пересечения этой окружности с

осью ОХ х

1

= 1, х

2

= - 5

Ответ: 1; -5



9СПОСОБ: Решение квадратных

уравнений с помощью номограммы.

Номограмма даёт значения положительных корней

уравнения z

2

+pz+q=0

Если это уравнение имеет корни разных знаков , то ,

найдя по номограмме положительный корень,

отрицательный находят ,вычитая положительный из -p .В

случае ,когда оба корня отрицательны, берут

z=-t и находят по номограмме два положительных корня

t

1

и t

2

уравнения t

2

-pt+q=0,а затем z

1

=-t

1

, z

2

=-t

2

.Если

коэффициенты p и q выходят за пределы шкал,

выполняют подстановку z=kt и решают посредством

номограммы уравнение

Уравнение, где k берется с таким расчётом, чтобы имели

место неравенства:

Для решения

нашего

уравнения

х

2

+ 4х –5 = 0

номограмма дает

корень

х

1

= 1

Найдем x

2

x

2

=-p-1=-4-1=-5.

Ответ: 1; -5



10СПОСОБ.Геометрический

способ решения квадратных

уравнений.

Решим уравнение х

2

+ 4х= 5.

Sпрям = 1



х

Sкв = 1



1= 1

S

ABCD

= х

2

+ 4



Sпрям + 4



Sкв

S

ABCD

= х

2

+ 4



1х + 4



1= х

2

+ 4х + 4

заменяя х

2

+ 4х числом 5, получим, что S = 5+ 4 =9.

Имеем (x+2)

2

=9

АВ = 3

х = 3 – 1 –1= 1.

Ответ: 1; -5

1

х

1

х

Х

2

х

1

х

1

A

B

C

D

Применим этот способ к нашему уравнению

11 СПОСОБ. Для нахождения

корней приведённого квадратного

уравнения х

2

+ px + q = 0

полезно воспользоваться формулой

х

2

+ 4х= 5.

Ответ: 1; -5

.

2

2

2

q

p

p

x





















1

3

2

9

2

5

2

4

2

4

2

1



































x

5

3

2

9

2

5

2

4

2

4

2

2





































x

12

СПОСОБ.Формула

Герона для

решения квадратных уравнений

ax

2

+ bx = c

Применим этот способ к нашему уравнению

x

2

+4x-5=0.

x

2

+4x=5

x

1

=1,x

2

=-5

Ответ: 1;-5

13СПОСОБ.Альтернативный метод решения

квадратных уравнений.

(

А.В.Борисов, канд.техн.наук, Л.Н.Королевич

)

Рассмотрим новый метод решения квадрат-

ных уравнений, который применим к приведенным квадратным

уравнениям

Обозначения

atr, btr – длины катетов прямоугольного тре-

угольника (далее просто катеты);

ctr – длина гипотенузы прямоугольного тре-

угольника (далее просто гипотенуза);

αtr, βtr – острые углы против катетов atr и btr

соответственно;

φtr – один из острых углов прямоугольного

треугольника (atr или btr );

mtr – длина медианы, опущенной на гипоте-

нузу (далее просто медиана);

htr – длина высоты, опущенной на гипотенузу

(далее просто высота);

θtr – угол между медианой и высотой;

�

tr – угол между медианой и гипотенузой.



Для этого необходимо:

1. определить величину угла θ (соответст-

вует углу

φ

tr ), как

2. определить величину угла

φ

(соответст-

вует углу

φ

tr ), как

или как

3. определить первый корень:

4. определить второй корень:

или

Применим этот способ к нашему

уравнению

x

2

+4x-5=0.

Промежуточные величины определяются по формулам

Тогда

=

Ответ: 1; -5

Но как мы видим этот способ нельзя назвать

самым удачным.

1. ;

2.

Решить каждое уравнение несколькими

способами. (Работа в парах)

Решить уравнение

2

наиболее удачными способами

Дома.

заключение



Великий Д.Пойа говорил: «Если вы хотите научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то

решайте их». Мне хочется продолжить, если хотите научиться

решать уравнения, то решайте их и не просто решайте, а решайте

с вдохновением самым удачным и подходящим способом. Ведь

Г.Лейбниц заметил: «Первое условие, которое надлежит

выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным

и, насколько можно, простым». Ваше решение должно приносить

Вам удовлетворение!

Спасибо за внимание