Вписанные и описанные

многоугольники

учитель математики МБОУ

«ЦО№31»

г.Тула

Соковых А.А.

Вписанные многоугольники

Многоугольник называется вписанным в окружность, если

все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом

называется описанной около многоугольника.

Теорема 1.

Около всякого треугольника можно описать

окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам треугольника.

Теорема 2. Суммы противоположных углов четырехугольника,

вписанного в окружность, равны 180

о

.

Описанные многоугольники

Многоугольник называется описанным около окружности,

если

все

его

стороны

касаются

этой

окружности.

Сама

окружность при этом называется вписанной в многоугольник

Теорема

3.

В

любой

треугольник

можно

вписать

окружность.

Ее

центром

будет

точка

пересечения

биссектрис

этого треугольника.

Теорема 4. Суммы противоположных сторон четырехугольника,

описанного около окружности, равны.

Вписанные и описанные треугольники

Теорема 5.

Отношение стороны треугольника к синусу

противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Теорема

7.

Радиус

r

окружности,

вписанной

в

треугольник,

выражается формулой , где a, b, c – стороны треугольника

S – его площадь.

Теорема

6.

Радиус

R

окружности,

описанной

около

правильного треугольника, выражается формулой , где

a, b, c – стороны треугольника S – его площадь.

2S

R

abc

=

++

4

abc

r

S

��

=

Упражнение 1

Сторона равностороннего треугольника равна

. Найдите радиус окружности, вписанной в

этот треугольник.

Ответ: 1.

23

Упражнение 2

Сторона равностороннего треугольника равна

. Найдите радиус окружности, описанной

около этого треугольника.

Ответ: 2.

23

Упражнение 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна

10 см. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 5.

Упражнение 4

Окружность,

вписанная

в

равнобедренный

треугольник,

делит

в

точке

касания

одну

из

боковых сторон на два отрезка, длины которых

равны

4

и

3,

считая

от

вершины.

Найдите

периметр треугольника.

Ответ: 20.

Упражнение 5

Одна

сторона

треугольника

равна

радиусу

оп и с а н н ой

ок руж н о с ти .

Н а й ди те

у г о л

треугольника, противолежащий этой стороне.

Ответ: 30

о

.

Упражнение 6

Сторона AB треугольника ABC равна

, угол C

равен

6 0

о

.

Найдите

радиус

окружно сти,

описанной около этого треугольника.

Ответ: 1.

3

Упражнение 7

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного

в окружность радиуса 6.

Ответ: 12.

Упражнение 8

Найдите

радиус

окружности,

описанной

около

квадрата со стороной, равной .

Ответ: 1.

2

Упражнение 9

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см.

Угол

между

диагоналями

равен

60

о

.

Найдите

радиус описанной окружности.

Ответ: 5.

Упражнение 10

Около окружности радиуса, равного , описан

квадрат. Найдите радиус окружности, описанного

около этого квадрата.

Ответ: 2.

2

Упражнение 11

Сторона

ромба

равна

4,

острый

угол

–

30

о

.

Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ: 1.

Упражнение 12

Боковые

стороны

трапеции,

описанной

около

окружности,

равны

2

и

4.

Найдите

среднюю

линию трапеции.

Ответ: 3.

Упражнение 13

Около трапеции описана окружность. Периметр

трапеции равен 20, средняя линия 5 см. Найдите

боковую сторону трапеции.

Ответ: 5.

Упражнение 14

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в

окружность, равен 100

о

. Найдите угол C.

Ответ: 80

о

.

Упражнение 15

Два угла вписанного в окружность

четырехугольника равны 80

о

и 60

о

. Найдите

больший из оставшихся углов.

Ответ: 120

о

.

Упражнение 16

В четырехугольник ABCD вписана окружность,

AB = 11, CD = 17. Найдите периметр

четырехугольника.

Ответ: 56.

Упражнение 17

Периметр четырехугольника, описанного около

окружности, равен 20, две его стороны равны 4 и

5. Найдите большую из оставшихся сторон.

Ответ: 6.

Упражнение 18

В четырехугольник ABCD вписана окружность,

AB = 11, BC = 10 и CD = 15. Найдите четвертую

сторону четырехугольника.

Ответ: 16.

Упражнение 19

Чему равна сторона правильного

шестиугольника, вписанного в окружность

радиуса 5?

Ответ: 5.

Упражнение 20

Найдите сторону правильного шестиугольника,

описанного около окружности, радиус которой

равен .

Ответ: 3.

23

Упражнение 21

Сторона AB треугольника ABC равна

, радиус

описанной окружности равен 1. Найдите угол C.

Ответ: 45

о

.

2

Упражнение 22

Боковая сторона равнобедренного треугольника

равна 2, угол при вершине равен 120

о

. Найдите

диаметр описанной окружности.

Ответ: 4.

Упражнение 23

Сторона BC треугольника ABC равна

, угол A

равен

4 5

о

.

Найдите

радиус

окружно сти,

описанной около этого треугольника.

Ответ: 2.

8

Упражнение 24

Сторона AB треугольника ABC равна 10, радиус

описанной окружности равен 10. Найдите угол C.

Ответ: 150

о

.

Упражнение 25

Боковые стороны равнобедренного треугольника

равны 40, основание равно 48. Найдите радиус

описанной окружности.

Ответ: 25.

Упражнение 26

В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен

90

о

. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ: 2.

Упражнение 27

Боковые стороны равнобедренного треугольника

равны 10, основание равно 12. Найдите радиус

вписанной окружности.

Ответ: 3.

Упражнение 28

Боковые стороны равнобедренного треугольника

равны

, основание равно 6. Найдите радиус

описанной окружности.

Ответ: 5.

310

Упражнение 29

Сторона AB треугольника ABC равна 10. Найдите

радиус

описанной

около

этого

треугольника

окружности, если противолежащий этой стороне

угол C равен 150

о

.

Ответ: 10.

Упражнение 30

Около окружности описана трапеция, периметр

которой равен 36. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: 9.

Упражнение 31

В

четырехугольнике

ABCD,

вписанном

в

окружность, угол A равен 75

о

, угол B равен 90

о

.

Найдите разность двух других углов.

Ответ: 15

о

.

Упражнение 32

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна

ее

меньшему

основанию,

угол

при

основании

равен 60

о

, большее основание равно 10. Найдите

радиус описанной окружности.

Ответ: 5.

Упражнение 33

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся

как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного

четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: 90

о

.

Упражнение 34

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и

6, высота равна 7. Найдите радиус описанной

окружности.

Ответ: 5.

Упражнение 35

Периметр прямоугольной трапеции, описанной

около окружности, равен 20, ее большая боковая

сторона равна 6. Найдите радиус окружности.

Ответ: 2.

Упражнение 36

Три стороны описанного около окружности

четырехугольника относятся (в

последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите

большую сторону этого четырехугольника, если

известно, что его периметр равен 24.

Ответ: 9.

Упражнение 37

Угол между стороной правильного n-угольника,

вписанного в окружность, и радиусом этой

окружности, проведенным в одну из вершин

стороны, равен 72. Найдите n.

Ответ: 10.

Упражнение 38

Найдите

диаметр

окружности,

вписанной

в

правильный шестиугольник со стороной .

Ответ: 3.

3

Упражнение 39

Около окружности радиуса, равного , описан

правильный шестиугольник. Найдите радиус

окружности, описанного около этого

шестиугольника.

Ответ: 2.

3

Упражнение 40

К

окружности,

вписанной

в

треугольник АВС,

проведены

три

касательные.

Периметры

отсеченных треугольников равны 3, 4, 5. Найдите

периметр данного треугольника.

Ответ: 12.

Упражнение 41

В треугольнике ABC AC = 8, BC = 6, угол C равен

90

о

. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 5.

Упражнение 42

В

равнобедренном

треугольнике

боковые

стороны делятся точками касания вписанной в

треугольник окружности в отношении 7:5, считая

от

вершины,

противоположной

основанию.

Найдите

периметр

треугольника,

если

его

основание равно 10.

Ответ: 34.

Упражнение 43

Угол B четырехугольника ABCD, вписанного в

окружность, равен 70

о

. Найдите угол D.

Ответ: 110

о

.

Упражнение 44

Меньшая сторона прямоугольника равна 36.

Один из углов, образованных диагоналями 120

о

.

Найдите диаметр описанной окружности.

Ответ: 72.

Упражнение 45

Периметр правильного шестиугольника равен 36.

Найдите диаметр описанной окружности.

Ответ: 12.

Упражнение 46

Т р и

п о с л е д о в а т е л ь н ы е

с т о р о н ы

четырехугольника,

в

который

можно

вписать

окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите

четвертую сторону.

Ответ: 7.

Упражнение 47

Сторона ромба равна 8 см, острый угол – 30

о

.

Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ: 2.

Упражнение 48

Боковые

стороны

трапеции,

описанной

около

окружности,

равны

4

и

6.

Найдите

среднюю

линию трапеции.

Ответ: 5.

Упражнение 49

Основания равнобедренной трапеции равны 16 и

12,

радиус

описанной

окружности

равен

10.

Найдите высоту трапеции.

Ответ: 14.

Упражнение 50

Угол между стороной правильного n-угольника,

вписанного

в

окружность,

и

радиусом

этой

окружности, проведенным в одну из

вершин

стороны, равен 70. Найдите n.

Ответ: 9.