1
ВОЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В СТЕПЕНЬ

Ризванова Л.З.
Научный руководитель – канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Миронова Ю.Н. «Те, кто влюбляется в практику без науки, подобны кормчим, выходящим в плавание без руля и компаса, ибо они никогда не (могут быть) уверены, куда идут. Практика всегда должна быть построена на хорошей теории, без нее ничто не может быть сделано хорошо». Леонардо да Винчи Ещё Леонардо да Винчи говорил о том, что практика должна быть подкреплена теорией, и я абсолютно с ним согласна. Поэтому прежде чем начать возводить комплексные числа в степень, нам необходимо понять, что такое комплексные числа, какие операции возможны на множестве комплексных чисел, и как именно выполняются эти операции. Для начала, познакомимся с историей возникновения комплексных чисел. Итак,
история

возникновения комплексных чисел
была самой сложной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды, столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался. «Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться, как всем действовать над такими числами. Но даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не использовать. История возникновения комплексных чисел получила свой новый виток уже в 1552 году, когда итальянский математик Рафаэль Бомбелли в своей книге установил первые правила арифметических операций над такими числами. Сам термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. История возникновения комплексных чиселпосле этого начала набирать свои обороты. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем. Теперь, когда, мы познакомились с историей комплексных чисел, мы можем перейти к непосредственному определению комплексного числа.
Комплексным

числом
называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. z = a + bi ∈ C ⇔ a ∈ R , b ∈ R , i − мнимая единица, bi − чисто мнимое число, i 2 =− 1 [Мордкович 2009, Ч.1, С. 243]. Два комплексных числа называют
равными
, если равны их действительные части и равны их мнимые части [Мордкович 2009, Ч.1, С. 243-245]. Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переме стительному, распределительному). Рассмотрим два комплексных числа z 1 = a 1 + i ⋅ b 1 и z 2 = a 2 + i ⋅ b 2 - Сумма комплексных чисел — комплексное число z = z 1 + z 2 = ( a 1 + a 2 ) + i ⋅ ( b 1 + b 2 ) - Разность z = z 1 − z 2 = ( a 1 − a 2 ) + i ⋅ ( b 1 − b 2 ) - Произведение z = z 1 ⋅ z 2 = ( a 1 ⋅ a 2 − b 1 ⋅ b 2 ) + i ⋅ ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) - Отношение
2 z = z 1 z 2 = a 1 ⋅ a 2 + b 1 ⋅ b 2 a 2 2 + b 2 2 + b 1 ⋅ a 2 − a 1 ⋅ b 2 a 2 2 + b 2 2 ⋅ i . Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число,
сопряженное

данному
комплексному числу
.
Если данное комплексное число обозначают буквой z , то сопряженное число обозначают z : z = x + yi ⇒ z = x − yi [Мордкович 2009: 246].
Свойства сопряженных чисел:

Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное.
z − z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2 a z ⋅ z = ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 − ( bi ) 2 = a 2 + b 2
Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным

числам.
z 1 + z 2 = z 1 + z 2
Число,

сопряженное

разности

двух

комплексных

чисел,

равно

разности

сопряженных

данным числам.
z 1 − z 2 = z 1 − z 2
Число,

сопряженное

произведению

двух

комплексных

чисел,

равно

произведению

сопряженных данным числам.
z 1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2
Число,

сопряженное n-ой

степени

комплексного

числа z,

равно n-ой

степени

числа,

сопряженного к числу z.
z n = ( z ) n , n ∈ N
Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от

нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.
( a + bi c + di ) = ( a + bi ) ( c + di )
Геометрическая

модель
множества С (комплексных чисел) - координатная плоскость [Мордкович 2009: 248].
Модулем
комплексного числа z называется число | z |= √ a 2 + b 2 [Мордкович 2009: 256].
Аргументом
комплексного числа z называют угол между положительным направлением действительной оси и вектором z : a ) α ∈(− π ; π ] ; b ) z =| z | ( cosα + i sin α ) Обозначение
:
Аrgz [Миронов 2007: 7].
Т р и г о н о м е т р и ч е с к о й

ф о р м о й
к о м п л е к с н о г о ч и с л а z н а з ы в а ю т z =| z | ( cos ( arg z ) + i sin ( arg z ) ) [Миронов 2007: 8].
3
Основные типы задач
- Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами. - Нахождение корней многочленов в комплексных числах. - Возведение комплексных чисел в степень. - Извлечение корней из комплексных чисел. - Применение комплексных чисел для решения прочих задач. Мы остановимся на задачах типа: возведение комплексных чисел в степень. При возведении комплексного числа в степень нам понадобится формула Муавра.
Формула Муавра:
( ρ ( cos α + i sin α ) ) n = ρ n ( cos nα + i sin nα ) ; n ∈ N
.
(Довольно часто формулу Муавра формулируют так: для возведения комплексного числа в n -ую степень следует модуль числа возвести в n -ую степень, а аргумент числа умножить на n ). Теперь мы можем рассмотреть пример.
Пример.
Вычислить ( 1 + i ) 13 .
Решение
. Здесь число записано в алгебраической форме. Перейдем к тригонометрической форме и используем формулу Муавра: 1 + i = √ 2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) ; ( 1 + i ) 13 = ( √ 2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) ) 13 = = ( √ 2 ) 13 ( cos ( 13 ⋅ π 4 ) + i sin ( 13 ⋅ π 4 ) ) = 2 6 √ 2 ( cos ( 3 π ⋅ π 4 ) + i sin ( 3 π ⋅ π 4 ) ) = = 64 √ 2 ( − √ 2 2 − i √ 2 2 ) =− 64 − 64 i . Но заметим, что можно было обойтись без формулы Муавра: ( 1 + i ) 13 = ( ( 1 + i ) 2 ) 6 ( 1 + i ) = ( 1 + 2 i + i 2 ) 6 ( 1 + i ) = ( 2 i ) 6 ( 1 + i ) = − 64 ( 1 + i ) = − 64 − 64 i . Итак, мы, решив поставленную задачу двумя способами, убедились в правильности ответа. Также мы видим, что прежде чем начинать решение, нужно проанализировать, каким способом решать рациональней. А для этого необходимо владеть теорией, подкрепленной практикой. Именно тогда решение любой поставленной задачи не затруднит вас.
Список литературы:
1. Миронов А.Н., Миронова Ю.Н. Теория функций комплексной переменной: учебное пособие / А.Н.Миронов, Ю.Н. Миронова. –Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2007. – 123 с. 2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учщихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 6-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2009. - 424 с.