МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

НЕРАВЕНСТВА В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

В.Е. Рыкунова

ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный

исследовательский университет», город Белгород

Аннотация:

В

статье

приведены

классификация

методов

решения

тригонометрических неравенств и результаты исследования с позиций «до» и

«после».

Ключевые

слова:

неравенство,

тригонометрические

неравенства,

методика, умения, навыки, тригонометрия, единичная (тригонометрическая)

окружность,

графический

способ,

метод

интервалов,

педагогический

эксперимент.

Вот

уже

полтора

года

я

являюсь

официальным

работником

общеобразовательного учреждения и замечаю, как учащиеся относятся к тем

или иным разделам математики. Из беседы с другими учителями я выяснила,

что больше всего дети не любят разделы тригонометрии и неравенств, а если

сложить их вместе, то это вообще становится для них катастрофой. Ответ на

вопрос:

«почему?»

не

заставил

себя

долго

ждать.

Это

банальное

непонимание.

Так

как

же

добиться

развития

у

обучающихся

к

данным

разделам интереса, а не страха?

Предположим,

что

если выделить

необходимые

для

решения

тригонометрических неравенств основные умения и разработать методику их

формирования, то это поможет учащимся как можно лучше разобраться в

теме «Тригонометрические неравенства» и выработать практические умения

и навыки их решения.

Целью

работы

стала

апробация

методики

обучения

решению

тригонометрических неравенств.

В планирование работы входили следующие задачи:

1.

Проанализировать

литературу

психолого-педагогической,

учебной и методической направленности;

2.

Выявить

роль

и

место

тригонометрических

неравенств

в

школьном курсе математики;

3.

Выделить основные этапы формирования умений и навыков при

решении тригонометрических неравенств;

4.

Выделить классификацию методов решения тригонометрических

неравенств;

5.

Провести

экспериментальное

исследование

по

уровню

знаний

тригонометрических разделов с позиции «до»;

6.

Апробировать

методику

формирования

умений

и

навыков

решений тригонометрических неравенств;

7.

Провести

экспериментальное

исследование

по

уровню

знаний

тригонометрических разделов с позиции «после».

Ана лизируя

учебную

литературу

из

перечня

у ч е б н и ко в

рекомендованных Министерством образования и науки РФ было выявлено,

что в учебнике в учебнике Алгебра и начала математического анализа под

авторством Никольского

и др. [4] схема изучения темы идет следующим

образом: функция – преобразование – уравнения и неравенства. Материал в

учебнике

располагается

от

простого

к

сложному,

что

дает

учащимся

целостное

понимание

изученных

тем.

А

вот

учебник

Алгебра

и

начала

анализа под авторством Мордковича [3] удобен больше для самостоятельного

изучения, так как содержит достаточно сильную и подробно изложенную

теоретическую

базу.

Однако

учебник

мало

насыщен

практическими

упражнениями.

Здесь

схема

выглядит

так:

функция

–

уравнения

–

преобразования.

В учебнике под авторством Алимова и др.[1] тема тригонометрических

неравенств,

к

сожалению,

приводится

как

материал

для

необязательного

изучения. А вот в учебнике под авторством Колягина и др.[2] схема выглядит

следующим образом: тригонометрические формулы – тригонометрические

уравнения – тригонометрические неравенства.

Ни для кого не секрет, что решение тригонометрических неравенств

целиком

и

полностью

строится

на

умении

решать

простейшие

тригонометрические уравнения, поэтому перед учителем стоит задача

как

можно лучше сформировать навыки их решения, то есть в совершенстве

знать материал следующей таблицы

Таблица номер 1 Решение простейших тригонометрических уравнений

Вид

Общий вид решения

Частные решения

уравнения

a

=−

1, x

=¿

a

=

0, x

=¿

a

=

1, x

=¿

sin x

=

a ,

|

a

|

≤1

a

+¿

πk , k

∈

Z

x

=

(

−

1

)

k

arcsin

¿

−

π

2

+

2 πk ,

k

∈

Z

πk , k

∈

Z

π

2

+

2 πk ,

k

∈

Z

cos x

=

a ,

|

a

|

≤1

x

=

± arccosa

+

2 πk ,

k

∈

Z

π

+

2 π k ,

k

∈

Z

π

2

+

πk ,

k

∈

Z

2 πk , k

∈

Z

tg x

=

a ,

a

−

любое

число

x

=

arctg a

+

πn , n

∈

Z

−

π

4

+

πn ,

n

∈

Z

πn , n

∈

Z

π

4

+

πn ,

n

∈

Z

ctg x

=

a ,

a

−

любое

число

x

=

arсctg a

+

πn ,

n

∈

Z

3 π

4

+

πn ,

n

∈

Z

π

2

+

πn ,

n

∈

Z

π

4

+

πn ,

n

∈

Z

Что касается классификации неравенств, то их можно склассифицировать

лишь по методу решения. Рассмотрим ее:

1)

Решение

простейших

тригонометрических

неравенств

с

использованием графиков тригонометрических функций.

Решение неравенств данного вида может быть осуществлено следующим

образом:

находится

некий

промежуток

(х1,х2),

на

котором

выполняется

неравенство и прибавляем к его концам число кратное периоду и записываем

ответ.

Если

значение

х1

находится

достаточно

легко,

то

поиск

второго

значения вызывает трудности у учащихся. На протяжении многих лет для

нахождения решений тригонометрических неравенств применяются формулы

корней соответствующих уравнений.

2)

Решение

тригонометрических

неравенств

с

использованием

тригонометрического круга

Это наиболее удобный способ для решения простейших тригонометрических

неравенств. Покажем на примере.

Решить неравенство

sin x

>

√

3

2

На оси ординат отложим значение

sin x

=

√

3

2

и построим соответствующие углы (рисунок 1.1)

x

1

=

π

3

, x

2

=

2 π

3

Рисунок 1.1 – тригонометрический круг

На оси ординат отложим значение ____ и построим углы, очевидно, что

данному неравенству удовлетворяют значения выделенные жирной линией.

Учитываем периодичность функции и записываем ответ

π

3

+

2 πn

<

x

<

2 π

3

+

2 πn , n

∈

Z .

3)

Решение тригонометрических неравенств с использованием метода

интервалов.

Метод

интервалов

заключается

в

следующем:

при

решении

какого-либо

неравенства

на

числовую

прямую

наносятся

точки,

разбивающие

ее

на

промежутки, в которых выражение обращается в нуль или неопределенно.

Такими

точками

являются

корни

уравнений.

Далее

определяют

знак

выражения в каждом промежутке, и в качестве ответа выбирают промежутки

с соответствующим знаком. Если функция периодическая, то неравенство

решается

на

одном

периоде,

затем

полученное

решение

периодически

продолжается.

4)

Решение тригонометрических неравенств с параметрами

Иногда

неравенства,

кроме

букв,

обозначающих

неизвестные,

содержат

другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с

бесконечным множеством неравенств. При их решении надо сначала найти

x

√3 /2

множество допустимых значений параметров, а затем разбить это множество

на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией

через параметры. Нужно отметить, что решение таких примеров требует

глубокого и осознанного понимания материала. Однако, в учебной программе

такие неравенства встречаются редко.

Вернемся

к

теме

работы,

напомним,

это

формирование

умений

и

навыков решать тригонометрические неравенства. Так что же такое умения и

как их формировать.

Говоря об умениях решать тригонометрические неравенства, нужно

иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс.

Эти умения формируются в течение длительного времени, рядом из них

учащиеся

должны

владеть,

приступая

к

изучению

тригонометрических

неравенств.

Но

рассмотрение

приемов

решения

тригонометрических

неравенств

предполагает

своего

рода

перенос

этих

умений

на

новое

содержание.

В

процессе

формирования

у

школьников

умений

решать

тригонометрические неравенства можно выделить 3 этапа:

Цель

подготовительного

этапа

состоит

в

том,

что

необходимо

сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг

или график для решения неравенств,

Второй

этап

обучения

решению

тригонометрических

неравенств,

связан

с

методикой

организации

деятельности

учащихся,

которые

ориентированы

на

уже

имеющиеся

у

учащихся

умения

работы

с

тригонометрической окружностью или графиком. Напомним, что эти умения

формируются при решении простейших тригонометрических уравнений и

неравенств

Что касается третьего этапа: знакомство учащихся с приемами решения

тригонометрических

неравенств,

не

являющихся

про стейшими,

целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному

тригонометрическому

неравенству



обращение

к

соответствующему

тригонометрическому уравнению



совместный поиск (учитель – учащиеся)

приема решения



самостоятельный перенос найденного приема на другие

неравенства этого же вида.

Мы

решили

экспериментально

проверить

эффективность

методики.

Ход эксперимента был разбит на три этапа: диагностирующий, обучающий,

диагностирующий. Базой исследования стало Муниципальное автономное

общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №

24

с

углубленным

изучением

отдельных

предметов»

Старооскольского

городского

округа.

В

качестве

испытуемых

был

выбран

10

А

класс,

в

количестве 29 человек. Первая диагностика проводилась после нескольких

уроков по данному разделу, которые проводил учитель, ведущий этот класс.

Диагностика

показала,

что

в

1

задании

среди

ошибок

самая

распространенная

это

отсутствие

умения

определять

положение

отрицательного угла.

Во 2 задании учащиеся определяют четверть, через подсчитывание

градусной

меры,

а

не

выделение

полного

периода.

А

также

допущены

ошибки на неправильное представление десятичной дроби к обыкновенному

виду.

В

3

задании

распространенные

ошибки:

определение

только

одной

точки у функций синус и косинус, а не пар точек, для функции тангенс точки

отмечают на линии тангенса, а не на окружности.

В задании 4 ни один из учеников не решил все примеры правильно.

Возможно

из-за

того,

что

учащиеся

имеют

недостаточные

навыки

использования формул приведения

В 5 задании сложность вызвало обозначение точки

9 π

4

в дуге PM.

В

следующем

задании

возникают

затруднения

в

определении

направления дуги, находящейся в левой части графика

В

7

задании

оказалось

сложным

выявить

ошибки

в

решении

тригонометрических

неравенств

с

помощью

свойств

тригонометрических

функций, так как остальные 20 учащихся, не приступали к выполнению

задания.

В

последнем

задании

основная

ошибка

–

используется

аналогия

с

формулой косинуса разности.

Для

достижения

выполняемости

поставленных

ранее

задач,

были

проведены как уроки, так и дополнительные занятия. Содержание таких

уроков вобрало в себя теоретическую основу и практическую составляющую.

После проведения уроков с использованием методики был проведен

повторный

диагностирующий

эксперимент,

который

показал

следующие

результаты, которые представлены на экране.

Исходя из полученных результатов, можно с уверенностью сказать, что

данная

методика

имеет

место

быть

в

школьном

курсе

математики,

а

следовательно цель эксперимента была достигнута. Об этом свидетельствует

улучшение результатов проверочных работ, а также интерес школьников в

процессе обучения.

Анализ и сравнение результатов тестирования до и после обучающего

эксперимента представлены на диаграмме.

1

2

3

4

5

6

7

8

0

5

10

15

20

25

30

Сравнительная диаграмма

Выполнили задание до

обучающего эксперимента

выполнили задание после

обучающего эксперимента

Номера заданий

Количество учащихся

Диаграмма 1 – сравнительная диаграмма результатов тестирования

В

заключении

хотелось

бы

сказать,

что учитывая

то,

что

тригонометрические

неравенства

подразделяются

на

несколько

типов,

очевидно, что и методика для решения каждого из них будет отлична от

другой, поэтому учитель должен владеть всеми методиками формирования

навыков и умений решать подобные неравенства.

Конечно,

для

достижения

поставленных

целей

образовательной

программы

недостаточно только средств и методов, которые предлагают

авторы

современных

учебников.

Здесь

большую

роль

играют

как

индивидуальные особенности обучающихся, так и уровень "базы" знаний

тригонометрии. От этих показателей и выстраивается возможность изучения

разно уровневых неравенств.

Список литературы:

1.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др., Алгебра и начала

математического анализа. // 10-11 классы: учеб. для общеобразоват.

учреждений: базовый уровень. / - М.: Просвещение, 2012

2.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала

математического

анализа.

10

//

Учеб.

для

общеобразоват.

учреждений: базовый и профил. уровни. Под ред. Жижченко А.Б./

М.: Просвещение, 2011

3.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11//

Учеб. для общеобразоват. учреждений /М.: Мнемозина, 2009

4.

Никольский С.М. , Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и

начала

математического

анализа,

10//

Учеб.

для

общеобразоват.

учреждений: базовый и профил. уровни/ М.: Просвещение, 2009