Пробный вариант ЕГЭ (базовый уровень)

1. Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения

.

3. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%.

Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?

4. Площадь трапеции S в м

2

можно вычислить по формул е

где

—

основания трапеции,

— высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите S,

если a = 3, b = 6 и h = 4.

5. Найдите значение выражения

.

6. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 24 рубля, а полугодовая под-

писка на этот журнал стоит 460 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала.

Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журна-

ла отдельно, а получать журнал по подписке?

7. Найдите корень уравнения

.

8. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 10 м × 10 м.

Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в м

2

.

9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каж-

дому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столб-

ца.

ВЕЛИЧИНЫ

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

А) масса взрослого человека

Б) масса грузового автомобиля

В) масса книги

Г) масса пуговицы

1) 8 т

2) 5 г

3) 65 кг

4) 300 г

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

Г

10. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не

глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что

пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

11.

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси

абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ор-

динат — температура двигателя в градусах Цельсия.

1

Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры

.

12. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план Абонентская плата

Плата за 1 минуту разговора

Повременный

Нет

0,3 руб.

Комбинирован-

ный

180 руб. за 380 мин. в

месяц

0,2 руб. за 1 мин. сверх 380 мин. в

месяц.

Безлимитный

225 руб. в месяц

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что

общая длительность телефонных разговоров составляет 600 минут в месяц. Какую

сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом ме-

сяце действительно будет равна 600 минут? Ответ дайте в рублях.

13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все дву-

гранные углы прямые).

14. На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый

календарный месяц 2013 года в городском роддоме. По горизонтали указываются меся-

цы, по вертикали — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности).

Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре-

мени характеристику рождаемости в этот период.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕ-

НИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ РОЖДАЕМОСТИ

А) 1-й квартал года

Б) 2-й квартал года

В) 3-й квартал года

Г) 4-й квартал года

1) рождаемость мальчиков в течение 2-го и 3-го

месяцев периода была одинаковой

2) рождаемость девочек снижалась

3) в каждом месяце девочек рождалось больше,

чем мальчиков

4) в каждом месяце мальчиков рождалось боль-

ше, чем девочек

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

2

А

Б

В

Г

15. В треугольнике

угол

равен 90°,

,

. Найдите

.

16. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны

2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в

правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

Г

18. Двадцать выпускников одного из одиннадцатых классов сдавали ЕГЭ по общество-

знанию. Самый низкий полученный балл был равен 36, а самый высокий — 75. Выбе-

рите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Среди этих выпускников есть двадцать человек с равными баллами за ЕГЭ по обще-

ствознанию.

2) Среди этих выпускников есть человек, который получил 75 баллов за ЕГЭ по обще-

ствознанию.

3) Баллы за ЕГЭ по обществознанию любого из этих двадцати человек не ниже 35.

4) Среди этих выпускников есть человек, получивший 20 баллов за ЕГЭ по общество-

знанию.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других

дополнительных символов.

19. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при

делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке

убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

20. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он

должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в

предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом

ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить

пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что состав-

ляет 250 капель)?

3

ОТВЕТЫ:

№ зад

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Отв

49

7

57

18

8

140

-2

900

3142

0,6

№ зад

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Отв

8

180

76

1432

2

32

2143

23

843

или

963

2

4

Пробный вариант ЕГЭ (профильный уровень)

1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2500 рублей. До установ-

ки счётчиков за воду платили 1700 рублей ежемесячно. После установки счётчиков

ежемесячная оплата воды стала составлять 1000 рублей. Через какое наименьшее коли-

чество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков,

если тарифы на воду не изменятся?

2. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся

8-го класса по математике в 2007 году (по 1000-балльной шкале). Найдите средний

балл участников из Болгарии.

3. Найдите (в см

2

) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге

с размером клетки 1 см

1 см (см. рис.). В ответе запишите

.

4. В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 12 из них встречается вопрос по

теме "Смутное время". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экза-

мене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Смутное время".

5. Решите уравнение

. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

запишите меньший из корней.

6.

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, ра-

диус которой равен

.

7.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интерва-

ле (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

8. В

правильной

четырехугольной

пирамиде

точка

—

центр

основания,

вершина,

,

. Найдите длину отрезка

.

9. Найдите значение выражения

.

10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению коли-

чества теплоты, затраченного на нагревание воды массой

(в килограммах) от темпе-

ратуры

до температуры

(в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному

от сжигания дров массы

кг. Он определяется формулой

,

где

Дж/(кгК) —

теплоемкость

воды,

Дж/кг —

удельная

теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится

5

сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть

кг воды от

до кипения, если из-

вестно, что КПД кормозапарника не больше

. Ответ выразите в килограммах.

11. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км.

Путь из А в В занял у туриста 2 часа 45 минут, из которых 1 час 15 минут ушёл на

спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 2

км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основа-

ния пирамиды равно

высота —

Найдите расстояние от середины ребра AD до

прямой MT, где точки Mи T — середины ребер CS и ВС соответственно.

15. Решите неравенство:

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая прохо-

дит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P.

Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей

окружности равен 10, а BC = 16.

17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн

рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего

года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следу-

ющей таблицей.

Месяц и год

Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020

Долг (в млн рублей)

S

0,8S

0,5S

0,1S

0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50

млн рублей.

18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений

функции

содержит отрезок

19. На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое

из которых не превосходит 40. Вместно некоторых из чисел (возможно, одного) на

доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа. которые после

этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли

среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

6

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите

наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались

на доске.

Ответы и решения:

1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 2500 рублей. До установ-

ки счётчиков за воду платили 1700 рублей ежемесячно. После установки счётчиков

ежемесячная оплата воды стала составлять 1000 рублей. Через какое наименьшее коли-

чество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков,

если тарифы на воду не изменятся?

Решение.

Установка счетчиков позволяет ежемесячно экономить 700 руб. Значит, затраты на их

установку окупятся через 2500 : 700 = 25 : 7 = 3,57... месяца то есть за 4 полных меся-

ца.

2. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся

8-го класса по математике в 2007 году (по 1000-балльной шкале). Найдите средний

балл участников из Болгарии.

Решение.

Средний балл участников из Болгарии указывает пятый столбец диаграммы. Он равен

465.

О т в е т: 465.

3. Найдите (в см

2

) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге

с размером клетки 1 см

1 см (см. рис.). В ответе запишите

.

Решение.

7

Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен

см.

Поэтому

см

2

.

О т в е т: 3.

4. В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 12 из них встречается вопрос по

теме "Смутное время". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экза-

мене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Смутное время".

Решение.

Из 20 билетов 8 не содержат вопроса по теме "Смутное время", поэтому вероятность

того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса

по теме "Смутное время", равна

О т в е т: 0,4.

5. Решите уравнение

. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

запишите меньший из корней.

Решение.

Возведем в квадрат:

Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.

О т в е т: 6.

Примечание.

Можно

было

сделать

проверку.

Подставляя

число

6,

получаем

верное

равен-

ство

, поэтому число 6 является корнем. Подставляя число −1, получаем

неверное равенство

, поэтому число −1 не является корнем.

6.

8

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус

которой равен

.

Решение.

Рассмотрим

равносторонний

треугольник AOB (см.

рис.).

В

этом

треугольнике

О т в е т: 20.

7.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале

(−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

Решение.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным

на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9,

−7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума.

О т в е т: 4.

8. В

правильной

четырехугольной

пирамиде

точка

—

центр

основания,

вершина,

,

. Найдите длину отрезка

.

Решение.

9

Рассмотрим треугольник

. Он прямоугольный: т. к.

—

высота, она перпендикулярна основанию

, а значит и прямой

,

, т. к.

пирамида правильная. Тогда по теореме Пифагора

.

О т в е т: 8.

9. Найдите значение выражения

.

Решение.

Выполним преобразования:

.

О т в е т: 1.

10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению коли-

чества теплоты, затраченного на нагревание воды массой

(в килограммах) от темпе-

ратуры

до температуры

(в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному

от сжигания дров массы

кг. Он определяется формулой

,

где

Дж/(кгК) —

теплоемкость

воды,

Дж/кг —

удельная

теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится

сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть

кг воды от

до кипения, если из-

вестно, что КПД кормозапарника не больше

. Ответ выразите в килограммах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства

при известных значениях теплоёмко-

сти воды

удельной теплоты сгорания дров

Дж/кг,

массы воды

кг и изменения температуры

кг.

О т в е т: 21.

11. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км.

Путь из А в В занял у туриста 2 часа 45 минут, из которых 1 час 15 минут ушёл на

спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 2

км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

10

Заметим, что время подъема составило 1 час 30 минут или 1,5 часа, а время спуска

1,25 часа. Пусть x км/ч — скорость движения пешехода на спуске, тогда х − 2 км/ч —

скорость движения пешехода на подъеме, 1,25х км — длина пути на спуске, 1,5(х − 2)

км — длина пути на подъеме. Всего было пройдено 8 км, откуда имеем:

Тем самым, скорость пешехода на спуске была равна 4 км/ч.

О т в е т: 4.

12. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке

.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

.

Уравнение

не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях пе-

ременной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наиболь-

шим значением функции на заданном отрезке является

О т в е т: 5.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а)

Преобразуем

исходное

уравнение,

получим:

Пусть

тогда

уравнение запишется в виде

откуда

Возвращаясь к исходной

переменной, имеем:

откуда

б) Корень

не принадлежит промежутку

поскольку

,

корень

принадлежит промежутку

О т ве т : а)

б)

14. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основа-

ния пирамиды равно

высота —

Найдите расстояние от середины ребра AD до

прямой MT, где точки Mи T — середины ребер CS и ВС соответственно.

Решение.

Пусть

—

центр

основания,

а

—

середина

ребра

—

середина

ребра

Тогда

поэтому точки

лежат в одной плоскости и являются вер-

шинами трапеции.

11

По теореме о средней линии треугольника

так что трапеция

равнобедренная.

Так как

Основания трапеции равны

В треугольнике

проведем высо-

ты

и

Тогда

Заметим, что

поэтому

Ответ:

.

15. Решите неравенство:

Решение.

Пусть

тогда данное неравенство принимает вид:

Область определения этого неравенства задается неравенством:

При

левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следова-

тельно, неравенство выполняется при всех

Далее имеем:

12

Возвращаясь к исходной переменной получаем:

О т ве т :

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая прохо-

дит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P.

Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей

окружности равен 10, а BC = 16.

Решение.

а) Пусть O — центр большей окружности. Линия цен-

тров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр

меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит,

∠

AKO = 90°. Отрезок OK —

перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K —

середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треуголь-

ника ABC. Следовательно. прямые MK и BC параллельны.

б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H— середина BC. Из прямоуголь-

ного треугольника OHB находим, что

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опу-

стим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

OF = OH − FH = OH − QP = 6 − 5 = 1,

PH

2

= QF

2

= QO

2

− OF

2

= 25 − 1 =24,

OP

2

= OH

2

+ PH

2

= 36 + 24 = 60,

13

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следователь-

но,

О т ве т : б)

17. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн

рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего

года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следу-

ющей таблицей.

Месяц и год

Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020

Долг (в млн рублей)

S

0,8S

0,5S

0,1S

0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50

млн рублей.

Решение.

Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля

следующим образом:

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 15%, значит, долг в январе

каждого года равен:

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

По условию, сумма выплат должна быть меньше 50 млн рублей.

14

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 36. Значит, искомый размер

кредита — 36 млн рублей.

О т ве т : 36.

18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений

функции

содержит отрезок

Решение.

Запишем функцию в виде

Отрезок

содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда,

когда уравнения

и

имеют решения.

Решим первое уравнение. Уравнение

имеет решение при любом

Решим

второе

уравнение.

Уравнение

имеет

решение

тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

откуда

19. На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое

из которых не превосходит 40. Вместно некоторых из чисел (возможно, одного) на

доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа. которые после

этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли

среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите

наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались

на доске.

Решение.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти дей-

ствия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Обозначим за

количество изначально написанных единиц, которые превратятся в

нули, а через

— количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел

15

равна

, а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна

и их

штук.

После описанных действий будет

чисел с общей суммой

. Значит

Значит

. Но тогда

, что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выраже-

ния

. Очевидно, следует взять

и максимизировать

, то есть

следует максимизировать x.

Заметим, однако, что сумма изначальных чисел не превосходит

, отку-

да

,

,

.

Т о г д а

т р ебуем о е

в ыражен и е

б у д е т

равно

. Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14

и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы.

О т ве т :а) да б) нет в)

16