Формула Герона и иррациональные числа учитель математики МБОУ "Гимназия №13" г. Алексин Чернышова Наталья Николаевна Для вычисления площади треугольника существуют различные формулы: если известна сторона и высота, проведенная к ней S = 1 2 ah a , если известны две стороны и угол между ними S = 1 2 a b ·sin γ , если известна сторона и два прилегающих к ней угла S = a 2 sin β sinγ 2sinα , если известны все высоты треугольника S = 1 √ Н ; где Н= ( 1 h a + 1 h b + 1 h c ) 4 , если известны радиус окружности и стороны треугольника S =p·r , где p= 1 2 ( a + b+c) , если известны стороны треугольника и радиус описанной окружности S = ab с 2 R , если известна сторона и углы треугольника S = 2R 2 · sinα·sin β· sinγ , если известны все стороны треугольника (формула Герона) S = √ p ( p − a )( p − b )( p − c ) , где p= 1 2 ( a +b+c). Формулу Герона часто используют учащиеся при нахождении площади треугольника, если стороны треугольника заданы рациональными числами. Если же стороны треугольника заданы иррациональ- ными числами, применение формулы Герона для вычисления площади треугольника вызывает затруднение. Пусть, дан треугольник со сторонами a= √ 5 , b = √ 10 , c = √ 17 2р= √ 5 + √ 10 + √ 17 р = 1 2 ( √ 5 + √ 10 + √ 17 ) р – a = 1 2 ( √ 17 + √ 10 - √ 5 ) р –b= 1 2 ( √ 5 + √ 17 - √ 10 ) р – с = 1 2 ( √ 5 + √ 10 - √ 17 ) S 2 = 1 2 ( √ 5 + √ 10 + √ 17 )· 1 2 ( √ 17 + √ 10 - √ 5 )· 1 2 ( √ 5 + √ 17 - √ 10 )· 1 2 ( √ 5 + √ 10 - √ 17 ) Здесь можно применить формулы сокращенного умножения, а именно: c a в
S 2 = 1 16 [ ( √ 5 + √ 10 ) + √ 17 ]·[ ( √ 5 + √ 10 ) - √ 17 ]·[ √ 17 + ( √ 10 - √ 5 ) ]·[ √ 17 -( √ 10 - √ 5 ) ] = 1 16 [ ( √ 5 + √ 10 ) 2 -17 ]·[ 17 -( √ 10 - √ 5 ) 2 ] Видно, что преобразования достаточно громоздки и могут повлечь ошибки. Поэтому, когда стороны треугольника заданы в виде иррациональных чисел, удобнее воспользоваться преобразованной формулой: S = a 2 (¿ ¿ 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 )−( a 4 + b 4 + c 4 ) 1 4 √ ¿ Получим эту формулу из формулы Герона S = √ p ( p − a )( p − b )( p − c ) , где p= 1 2 ( a +b+c) S 2 = 1 2 ( a +b+c) 1 2 (b+c- a ) 1 2 ( a +c-b) 1 2 ( a +b-c)= 1 16 [ ( a +b)+c ] · [ c-( a -b) ] · [ c+( a -b) ] · [ ( a +b)-c ] = 1 16 [ ( a +b) 2 - c 2 ]·[ c 2 - ( a -b) 2 ] = - 1 16 [ c 2 - ( a +b) 2 ] · [ c 2 - ( a -b) 2 ] = - 1 16 { c 4 - [ ( a +b) 2 + ( a -b) 2 ] ·c 2 +( a +b) 2 ·( a -b) 2 } = - 1 16 [ c 4 –( a 2 + 2a b + b 2 + a 2 − 2 ab + b 2 )· c 2 + ( a 2 -b 2 ) 2 ] = - 1 16 [ c 4 – 2 a 2 c 2 - 2 b 2 c 2 + a 4 -2 a 2 b 2 + b 4 ] = 1 16 [ 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 +2 a 2 b 2 - a 4 - b 4 - c 4 ] = 1 16 [ 2 a 2 c 2 ¿ + b 2 c 2 + a 2 b 2 ¿ - a 4 ¿ + b 4 +c 4 ) ] S = a 2 (¿ ¿ 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 )−( a 4 + b 4 + c 4 ) 1 4 √ ¿ Теперь вернемся к нашей задаче и найдем площадь треугольника с теми же данными, используя полученную формулу. S= 1 4 √ 2 ( 5 ·10 + 10 · 17 + 5 ·17 )−( 25 + 100 + 289 ) = 1 4 √ 610 − 414 = 1 4 √ 196 = 1 4 ·14 = 3,5(кв.ед.) Как мы видим, вычисления сократились. Но применять данную формулу, когда стороны треугольника являются большие иррациональные числа, достаточно сложно. В формуле присутствует четвертая степень сторон и произведение их квадратов. Произведем с нашей формулой несложные преобразования. S = a 2 (¿ ¿ 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 )−( a 4 + b 4 + c 4 ) 1 4 √ ¿ ; S 2 = 1 16 [2 a 2 c 2 ¿ + b 2 c 2 + a 2 b 2 ¿ - a 4 ¿ + b 4 +c 4 )] = 1 16 [ 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 +2 a 2 b 2 - a 4 - b 4 - c 4 ] = 1 16 [ (2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 - c 4 )+ (2 a 2 b 2 - a 4 - b 4 ¿ ] = 1 16 [ c 2 ·(2 a 2 + 2 b 2 – c 2 ) – ( a 2 -b 2 ) 2 ]
В итоге мы получаем формулу S = 1 4 √ c 2 · ( 2 a 2 + 2 b 2 – c 2 ) – ( a 2 − b 2 ) 2 . Аналогично можно получить S = 1 4 √ b 2 · ( 2a 2 + 2c 2 – b 2 ) – ( a 2 − c 2 ) 2 и S = 1 4 √ a 2 · ( 2c 2 + 2 b 2 – a 2 ) – ( b 2 − c 2 ) 2 . Эту формулу удобно применять не только для вычисления площади треугольника, у которого стороны заданы большими иррациональными числами, но и при малых значениях. В формуле значение второй скобки возводиться в квадрат, поэтому значения сторон нужно выбирать такие, чтобы их разность давала наименьшее число, которое будет возводиться в квадрат. Рассмотрим пример, пусть дан треугольник со сторонам a= √ 1547 , b = √ 455 , c = √ 406 . Найти площадь треугольника. S = 1 4 √ a 2 · ( 2c 2 + 2 b 2 – a 2 ) – ( b 2 − c 2 ) 2 S = 1 4 √ 1547 · ( 2 · 406 + 2· 455 – 1547 ) – ( 455 − 406 ) 2 = 1 4 √ 1547 · ( 812 + 910 – 1547 ) – 49 2 = 1 4 √ 1547 · 175 − 2401 = 1 4 √ 270725 − 2401 = 1 4 √ 268324 = 1 4 ·518 = 129,5( кв.ед) Знание этой формулы поможет учащимся более успешно решать задачи на нахождение площади треугольника по трем сторонам. В заключении хотелось бы сказать, что конечно можно предложить ученикам неэффективный метод решения, аргументируя это возможностью для ученика поупражняться в тождественных преобразованиях. Но учащийся и так должен владеть умениями тождественного преобразования. Я считаю, что любое решение должно быть легче и короче, так как преобразование не самоцель, а средство для решения поставленной задачи.