Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Тема: Обобщенный метод интервалов при решении

логарифмических неравенств .
В курсе математического анализа формулируется теорема: Теорема: Если   x f непрерывна на отрезке   b a; и не обращается в 0 на открытом промежутке   b a; , то   x f имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка   b a; . Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули   x f и определить знаки   x f на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную» точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической ошибки результат окажется неверным. Рассмотрим условия равносильности, которые часто
за один шаг

сведут
решение самых распространенных логарифмических неравенств
к решению

рациональных неравенств.
I. Для логарифмических неравенств с заданным основанием а ( где а – положительное , отличное от 1 число) можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ: логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Это особенно важно при решении задач ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.
Правило 1:

Знак
  x f a log
совпадает со знаком произведения
      1 1   x f a
в ОДЗ.
логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f
Правило 2:
Знак разности     x g x f a a log log  совпадает со знаком произведения         x g x f a   1 в ОДЗ.
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Правило 2 дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений. Например, можно очень просто решить неравенство вида         0 0 log log    x h x g x f a a По правилу 2, получаем, что           0 1    x h x g x f a
№1.
0 16 7 2 log 5 4 log 2 7 3                 x x x ОДЗ:                ; 4 7 4 1 ; 5 4     0 1 16 7 2 1 7 1 5 4 1 3 2                     x x x 0 4 9 4 1 5 1                  х х х , с учетом ОДЗ
Ответ:
                      4 9 ; 4 7 4 1 ; 5 1 4 1 ; 5 4
№2.
  1 1 1 3 log 3    x x ОДЗ: ) ; 0 (    0 1 3 log 1 3 log 1 3 3      x x x 0 1 3 1 3 1      x x x 0 1 2 3 3    x x 0 1 2 3 log 3    x x
Ответ:
          ; 1 2 3 log ; 0 3
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№3
.   1 1 log 3 log 3 1 3 1    x x       0 1 log 1 log 3 log 2 1 3 3 3        x x x ОДЗ: ) ; 1 (         0 1 log 1 log 2 3 log 3 3 3       x x x 0 ) 1 1 )( 1 3 ( ) 3 1 2 )( 1 3 ( 2          x x x x 0 ) 1 )( 2 (    x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
       ; 1 0 ; 1
№4.
Найдите сумму длин промежутков, являющихся решениями неравенства             0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x Задача интересна тем, что без применения правил решение будет очень громоздким. ОДЗ:     4 ; 0 0 ; 4               0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x         0 16 2 5 5 3 2 2          x x x x x x , с учетом ОДЗ:     4 ; 3 3 4 ; 5 0 ; 5 3 4 ; 4                    x Сумма длин промежутков равна 5 3 4 5 3 4 5 0 4 3 4         
Ответ:
5. II. Логарифмы с переменным основанием. логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f Для нестрого неравенства условие выглядит так: логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f
Правило 3:
Знак функции     x f x a log совпадает со знаком произведения         1 1   x f x a в ОДЗ. По определению,               x a x g x f x g x f x a x a lg lg lg log log    и, в силу правил 1 , 2 справедливо логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f При решении нестрого неравенства условия равносильности примут вид
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f
Правило 4:
Знак разности         x g x f x a x a log log  совпадает со знаком произведения           x g x f x a   1 в ОДЗ. Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований, и теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов. Заметим, что условия раносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. Именно это и дает основание называть частное     x а x f lg lg просто     x f x a log . Но как показывает практика, полными услвиями равносильности не всегда удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства.
№5.
1 3 log 4 log 1 4 log 9 9     x x x ОДЗ: ) ; 1 ( ) 1 ; 0 (   1 log 2 log 1 4 log 9 9 9     x x x 0 log ) log 1 ( 2 log 3 log 2 9 9 9 9 2      x x x x 0 log ) log 1 ( ) 2 1 (log ) 2 (log 2 9 9 9 9        x x x x
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» 0 ) 1 log (log ) 9 1 log (log ) 3 log (log ) 81 1 log (log 9 9 9 9 9 9 9 9        x x x x             0 9 1 1 9 1 1 9 3 1 9 81 1 1 9                      x x x x      0 9 1 1 3 81 1                  x x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
  3 ; 1 9 1 ; 81 1       
№6.
      1 1 3 3 3 3 3 3 3 5 log 3 5 log 9 25 log           x x x x x x x x x                        0 3 5 3 5 1 3 3 0 3 5 0 3 3 1 1 x x x x x x x x                          0 3 3 4 5 5 4 1 3 3 0 1 x x x x x                                          0 3 5 3 5 2 3 4 3 0 1 0 1 x x x x x                              0 1 3 2 3 4 0 1 x x x x x
Ответ:
             3 4 ; 1 3 2 ; 0
№7
. Найти значения параметра а, при которых область определения функции     1 log 2 log      ax a x у a a не пуста. Укажите эту область определения.     0 1 log 2 log      ax a x a a                            0 1 2 1 0 1 0 2 1 0 ax a x a ax a x a a
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»                            0 ) 3 ( ) 1 ( 1 0 1 2 2 1 0 a a x a ax a x a a                            0 1 3 1 2 1 0 2 a a x a a x a a ax+1 > 0 при условии, что х > 2, a > 0                 a a х a x a a 1 3 2 1 0 Если а > 1, то условия х > 2 и а а х    1 3 противоречивы. Если 0 < a < 1, то решение существует и  х          a a a 1 3 ; 2 , если            1 0 2 1 3 a a а а            1 0 0 1 1 2 2 a а a а
Ответ:
  1 ; 0  a D(y)=          a a a 1 3 ; 2
№8.
  1 5 16 log 2 10 2          x x x
Ответ:
         10 ; 8 25 3 ; 0
№9.
  0 2 3 log 2 3 2          x x x
Ответ:
    3 log ; 5 , 1 5 , 0 ; 2    
№10.
  3 3 20 log 3 2    x x x x
Ответ:
  4 , 1
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№11.
  0 5 4 log 8 12 4 2      x x x
Ответ:
             2 3 ; 4 5 4 5 ; 1
№12.
2 3 log 5 log 2 1 log 6 9 7 3 1          x x x
Ответ:
  . 9 ; 1 3 1 ; 0 5 3       
№13.
0 log log 2 1 4 7           x x
Ответ:
      4 3 ; 2 1
№14.
Решите систему

               0 1 2 3 log 72 5 5 2 3 1 3 1 3 x x x х х 1). Решение первого неравенства: 3 1 3 log 5   х 2). Решаем второе неравенство:                             0 1 1 2 3 1 3 0 1 2 3 3 0 2 2 x x x x x x x                 0 2 3 3 3 0 x х х x x            ; 3 3 2 ; 0 х
Ответ:
          ; 3 3 2 ; 3 15 log 5