" Обобщенный метод интервалов при решении логарифмических неравенств"
Автор: Смирнова Наталья Александровна Должность: учитель математики Учебное заведение: МБОУ " Гимназия №127" Населённый пункт: город Снежинск Наименование материала: Методическая разработка Тема: " Обобщенный метод интервалов при решении логарифмических неравенств" Раздел: полное образование
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Тема: Обобщенный метод интервалов при решении
логарифмических неравенств .
В курсе математического анализа формулируется теорема:
Теорема: Если
x
f
непрерывна на отрезке
b
a;
и не обращается в 0 на
открытом промежутке
b
a;
, то
x
f
имеет один и тот же знак во всех
внутренних точках отрезка
b
a;
.
Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции:
найти нули
x
f
и определить знаки
x
f
на промежутках между соседними
нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную»
точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной»
точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической
ошибки результат окажется неверным.
Рассмотрим условия равносильности, которые часто за один шаг
сведут
решение самых распространенных логарифмических неравенств к решению
рациональных неравенств.
I. Для логарифмических неравенств с заданным основанием а ( где а –
положительное , отличное от 1 число) можно записать полное условие
равносильности, включающее ОДЗ:
логарифмические неравенства вида:
0
log
x
f
a
0
1
1
0
x
f
a
x
f
0
log
x
f
a
0
1
1
0
x
f
a
x
f
Условия равносильности верны и для нестрого неравенства.
логарифмические неравенства вида:
0
log
x
f
a
0
1
1
0
x
f
a
x
f
0
log
x
f
a
0
1
1
0
x
f
a
x
f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Преимущество использования условий равносильности по сравнению с
обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в
том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является
основание. Это особенно важно при решении задач ЕГЭ, когда время для их
решения ограничено.
Правило 1:
Знак
x
f
a
log
совпадает со знаком произведения
1
1
x
f
a
в ОДЗ.
логарифмические неравенства вида:
x
g
x
f
a
a
log
log
0
1
0
0
x
g
x
f
a
x
g
x
f
x
g
x
f
a
a
log
log
0
1
0
0
x
g
x
f
a
x
g
x
f
Условия равносильности верны и для нестрого неравенства.
логарифмические неравенства вида:
x
g
x
f
a
a
log
log
0
1
0
0
x
g
x
f
a
x
g
x
f
x
g
x
f
a
a
log
log
0
1
0
0
x
g
x
f
a
x
g
x
f
Правило 2:
Знак разности
x
g
x
f
a
a
log
log
совпадает со знаком произведения
x
g
x
f
a
1
в ОДЗ.
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Правило 2 дает возможность просто справиться с неравенствами, решение
которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений.
Например, можно очень просто решить неравенство вида
0
0
log
log
x
h
x
g
x
f
a
a
По правилу 2, получаем, что
0
1
x
h
x
g
x
f
a
№1.
0
16
7
2
log
5
4
log
2
7
3
x
x
x
ОДЗ:
;
4
7
4
1
;
5
4
0
1
16
7
2
1
7
1
5
4
1
3
2
x
x
x
0
4
9
4
1
5
1
х
х
х
, с учетом ОДЗ
Ответ:
4
9
;
4
7
4
1
;
5
1
4
1
;
5
4
№2.
1
1
1
3
log
3
x
x
ОДЗ:
)
;
0
(
0
1
3
log
1
3
log
1
3
3
x
x
x
0
1
3
1
3
1
x
x
x
0
1
2
3
3
x
x
0
1
2
3
log
3
x
x
Ответ:
;
1
2
3
log
;
0
3
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№3
.
1
1
log
3
log
3
1
3
1
x
x
0
1
log
1
log
3
log
2
1
3
3
3
x
x
x
ОДЗ:
)
;
1
(
0
1
log
1
log
2
3
log
3
3
3
x
x
x
0
)
1
1
)(
1
3
(
)
3
1
2
)(
1
3
(
2
x
x
x
x
0
)
1
)(
2
(
x
x
x
, с учетом ОДЗ
Ответ:
;
1
0
;
1
№4.
Найдите сумму длин промежутков, являющихся решениями
неравенства
0
16
lg
2
lg
5
1
2
3
2
2
2
x
x
x
x
x
Задача интересна тем, что без применения правил решение будет очень
громоздким.
ОДЗ:
4
;
0
0
;
4
0
16
lg
2
lg
5
1
2
3
2
2
2
x
x
x
x
x
0
16
2
5
5
3
2
2
x
x
x
x
x
x
, с учетом ОДЗ:
4
;
3
3
4
;
5
0
;
5
3
4
;
4
x
Сумма длин промежутков равна
5
3
4
5
3
4
5
0
4
3
4
Ответ: 5.
II. Логарифмы с переменным основанием.
логарифмические неравенства вида:
0
log
x
f
x
a
0
1
1
0
0
x
f
x
a
x
a
x
f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
0
log
x
f
x
a
0
1
1
0
0
x
f
x
a
x
a
x
f
Для нестрого неравенства условие выглядит так:
логарифмические неравенства вида:
0
log
x
f
x
a
0
1
1
1
0
0
x
f
x
a
x
a
x
a
x
f
0
log
x
f
x
a
0
1
1
1
0
0
x
f
x
a
x
a
x
a
x
f
Правило 3:
Знак функции
x
f
x
a
log
совпадает со знаком произведения
1
1
x
f
x
a
в
ОДЗ.
По определению,
x
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
a
x
a
lg
lg
lg
log
log
и, в силу правил 1 , 2
справедливо
логарифмические неравенства вида:
x
g
x
f
x
a
x
a
log
log
0
1
0
0
0
x
g
x
f
x
a
x
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
a
x
a
log
log
0
1
0
0
0
x
g
x
f
x
a
x
a
x
g
x
f
При решении нестрого неравенства условия равносильности примут вид
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
логарифмические неравенства вида:
x
g
x
f
x
a
x
a
log
log
0
1
1
0
0
0
x
g
x
f
x
a
x
a
x
a
x
g
x
f
x
g
x
f
x
a
x
a
log
log
0
1
1
0
0
0
x
g
x
f
x
a
x
a
x
a
x
g
x
f
Правило 4:
Знак разности
x
g
x
f
x
a
x
a
log
log
совпадает со знаком произведения
x
g
x
f
x
a
1
в ОДЗ.
Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в
том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных
оснований, и теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое
выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться
классическим методом интервалов.
Заметим, что условия раносильности формально точно такие же, как и для
логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются.
Именно это и дает основание называть частное
x
а
x
f
lg
lg
просто
x
f
x
a
log
. Но
как показывает практика, полными услвиями равносильности не всегда
удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия
равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение
ОДЗ от решения основного неравенства.
№5.
1
3
log
4
log
1
4
log
9
9
x
x
x
ОДЗ:
)
;
1
(
)
1
;
0
(
1
log
2
log
1
4
log
9
9
9
x
x
x
0
log
)
log
1
(
2
log
3
log
2
9
9
9
9
2
x
x
x
x
0
log
)
log
1
(
)
2
1
(log
)
2
(log
2
9
9
9
9
x
x
x
x
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
0
)
1
log
(log
)
9
1
log
(log
)
3
log
(log
)
81
1
log
(log
9
9
9
9
9
9
9
9
x
x
x
x
0
9
1
1
9
1
1
9
3
1
9
81
1
1
9
x
x
x
x
0
9
1
1
3
81
1
x
x
x
x
, с учетом ОДЗ
Ответ:
3
;
1
9
1
;
81
1
№6.
1
1
3
3
3
3
3
3
3
5
log
3
5
log
9
25
log
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
3
5
3
5
1
3
3
0
3
5
0
3
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
0
3
3
4
5
5
4
1
3
3
0
1
x
x
x
x
x
0
3
5
3
5
2
3
4
3
0
1
0
1
x
x
x
x
x
0
1
3
2
3
4
0
1
x
x
x
x
x
Ответ:
3
4
;
1
3
2
;
0
№7
. Найти значения параметра а, при которых область определения
функции
1
log
2
log
ax
a
x
у
a
a
не пуста. Укажите эту область
определения.
0
1
log
2
log
ax
a
x
a
a
0
1
2
1
0
1
0
2
1
0
ax
a
x
a
ax
a
x
a
a
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
0
)
3
(
)
1
(
1
0
1
2
2
1
0
a
a
x
a
ax
a
x
a
a
0
1
3
1
2
1
0
2
a
a
x
a
a
x
a
a
ax+1 > 0 при условии, что х > 2, a > 0
a
a
х
a
x
a
a
1
3
2
1
0
Если а > 1, то условия х > 2 и
а
а
х
1
3
противоречивы.
Если 0 < a < 1, то решение существует и
х
a
a
a
1
3
;
2
, если
1
0
2
1
3
a
a
а
а
1
0
0
1
1
2
2
a
а
a
а
Ответ:
1
;
0
a
D(y)=
a
a
a
1
3
;
2
№8.
1
5
16
log
2
10
2
x
x
x
Ответ:
10
;
8
25
3
;
0
№9.
0
2
3
log
2
3
2
x
x
x
Ответ:
3
log
;
5
,
1
5
,
0
;
2
№10.
3
3
20
log
3
2
x
x
x
x
Ответ:
4
,
1
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№11.
0
5
4
log
8
12
4
2
x
x
x
Ответ:
2
3
;
4
5
4
5
;
1
№12.
2
3
log
5
log
2
1
log
6
9
7
3
1
x
x
x
Ответ:
.
9
;
1
3
1
;
0
5
3
№13.
0
log
log
2
1
4
7
x
x
Ответ:
4
3
;
2
1
№14.
Решите систему
0
1
2
3
log
72
5
5
2
3
1
3
1
3
x
x
x
х
х
1). Решение первого неравенства:
3
1
3
log
5
х
2). Решаем второе неравенство:
0
1
1
2
3
1
3
0
1
2
3
3
0
2
2
x
x
x
x
x
x
x
0
2
3
3
3
0
x
х
х
x
x
;
3
3
2
;
0
х
Ответ:
;
3
3
2
;
3
15
log
5