Зачет по теме: «Решение тригонометрических уравнений» 1 группа. Уравнения, сводимые к алгебраическим. Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции. Тригонометрические уравнения вида a +c=0, a a уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них соответственно , tgx=m, получим алгебраические уравнения. Пример: , 1−2 ,так как =1, −4 −2 3 +1=0, −4 −2 3 +1=0, −2 +3 −1=0, пусть , тогда получаем уравнение 2 , тогда или х= x= +2πn,n . Ответ: +2πn, ,n . При решении уравнений этой группы необходимо знать формулы: , tg x= , ctg x= , 1+ , 1+ , 1
1+ , 1− , , tg 2x= , , , формулы приведения.
Уравнения на зачет
1) 2) tg x+ ctg x=2 3) 1− 4) 3 5) −2 6) 7) 7 8) 9) 10) ctg x− . 2 группа. Однородные уравнения. Уравнения a , a , a и т.д. называют однородными уравнениями относительно . Сумма показателей степеней при у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Однородные уравнения имеют специальный метод решения. Пример: 4 , так как , то 3∙1=3∙ 4 + −3( )=0, + −3 =0,получили однородное уравнение второй степени. Разделим полученное уравнение почленно на , так как . Если 2
же =0, то из уравнения видно, что , что невозможно, так как теряет смысл тождество .Получим уравнение ,пусть tg x = y tg x = −3 или tg x =1 x=−arctg 3 +πn, n . x= Ответ: -arctg 3 +πn,
Уравнения на зачет
11) 5 +6 12) 2 =1 13) 2 =2 14) (1+ )(1+ =1 15) 16) 1+ =0 17) 18) 5 =4 19) 4 20) 4 =3. 3 группа . Уравнения, решаемые разложением на множители. При решении уравнений этой группы нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, применение формул сокращенного умножения и деления и искусственные приемы. Необходимо знать также формулы tg (α±β)= , , .
Уравнения на зачет
3
21) 22) 23) 24) 25) 26) tg 3x = 27) 28) 1−2 29) 30) 4 группа. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических формул. Необходимо знать формулы : , , , , tg x± tg y = , ctg x+ ctg y= , ctg x− ctg y= ,
Уравнения на зачет
31) 32) 33) 34) 4
35) 36) 37) tg8x + tg 2x=0 38) ctg(x+ )+ ctg(x− )= . 5 группа. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. Надо знать формулы: tg (α±β)= , = , , Пример: = , = , = , 2 , , , 9x= x= n ∈ ℤ Ответ: n ∈ ℤ .
Уравнения на зачет
39) 40) 41) tg2x 42) 5
43) 44) 45) 46) 6 группа .Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. Формулы понижения степени : и . Пример: 2 , 1− + (1+ )− 2 − произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю . другой при этом имеет смысл, т.е. 2x= = , x= 2x=± x=± k . Ответ: , ± k .
Уравнения на зачет
47) 6 48) 49) 8 + 50) 6
51) 4 . 7 группа . Уравнения вида a . В уравнении a - любые действительные числа. Если a = b =0, а c ≠0, то уравнение теряет смысл; если же a = b =с=0, то х- любое действительное число, т.е. уравнение обращается в тождество. Решение простейших уравнений этой группы не требует новизны подхода . Пример: разделив обе части уравнения на 2, получим , = x= , k ∈ ℤ . Ответ: , k ∈ ℤ . Рассмотрим уравнение a , у которого произвольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разными методами. Одним из них является метод вспомогательного угла. Мы знаем, что если то существует такой угол φ, что а= , или наоборот. Для решения уравнения вынесем за скобки множителем выражение . Получим: ( )=с. Поскольку , то первое число можно принять за косинус некоторого угла φ, а второе - за синус того же угла φ. В таком случае уравнение примет вид: ( )=с или решение , если , тогда .+ , 7
х= .+ , k ∈ ℤ . Угол φ находится из равенства tg φ= , откуда φ=arctg . Ответ: + − arctg , Пример: 4 , , тогда , , Ответ:
Уравнения на зачет
52) 2 53) 54) 55) 3 56) 57) 2 8