Материал к урокам по теме: «Комбинаторика и теория вероятностей».

Комбинаторные принципы и понятия перестановки. Размещения.

Комбинаторика
-это раздел математики, в котором изучаются некоторые операции конечными множествами, т.е. над определённым числом предметов (объектов). Сами эти объекты называются элементами множества. Основными и типичными операциями и связанными с ними задачами комбинаторики являются следующие: 1) Образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определённого порядка следования элементов множества друг за другом, - составление перестановок; 2) Образование подмножеств, состоящее в выделении из каждого множества некоторой части его элементов,- составление сочетаний; 3) Образование упорядоченных подмножеств - составление размещений. Пример 1: {□;∆} ∆□,□∆. Пример 2: {∆;□;○} ∆□○, ∆○□, □∆○, □○∆, ○∆□, ○□∆. Определение 1 Установленный в конечном множестве порядок расположения его элементов называется перестановкой. Р-число перестановок. Р2=2 Р3=6 Пусть теперь у нас имеется К предметов, у которых составлены Рк перестановок. Возьмём одну из них: а1а2а3…аК Добавим ещё один (к+1)-ый элемент. Его можно поместить: 1) Впереди первого члена а1 2) Впереди второго члена а2 3) Впереди третьего члена а3 и т.д. К) впереди к-го члена а-К К+1) позади всех имеющихся К элементов, т.е. к+1 способом. Значит, количество перестановок из к+1 элемента в (к+1) раз больше, чем число перестановок из к элементов, т.е. Рк+1 = Рк*(к+1). Р2= 1*2=2! Р3= 1*2*3=3! Р4=1*2*3*4=4! Р5=1*2*3*4*5=5! Рк=1*2*3*4*5…*к=к! Закрепление. Сканави № 14.166-14.169. Сократить дробь:
а) n!/(n+1)-n!; б)(n+2)!+(n+1)!/ (n+2)!-(n+1)!; в) (n+2)*n!/(n+1)!; г) ((n+2)!+n!)*(n+1)/ ((n+2)!*(n^2+3n+3); Вычислить: а) (Р5+Р4)/P3; б)(P8-P7)/(7*P7); в)(P6-P1)/P3; г)(2*P3+3*P4)/(5*P5-P3). Пример 3: Тридцать букв русского алфавита. Сколько различных четырёхбуквенных «слов» можно из них составить. (Многие «слова» не будут иметь смыслового значения. Слово «Миша» составить можем, а слово «Маша» - не можем, т.к. по условию буквы недолжны повторяться). {A; Б; В; Г… Я} Для решения задачи подготовим «наборную доску» для четырёхбуквенного слова _,_,_,_. Очевидно, первую букву можно выбрать 30-ю способами. Каждая из 30 имеющихся карточек может быть уложена в первую клетку. Вторая буква выбирается из оставшихся 29 букв: буква, которая заняла первое место, не может быть использована вторично. Таким образом, с буквы А начинается 29 двухбуквенных «слов», с буквы Б- тоже 29…, с буквы Я – 29, всего получится 29*30 двухбуквенных «слов». Продолжая рассуждения, заметим, что третью букву можно выбрать 28 способами, значит получим 30*29*28 трёхбуквенных «слов» и 30*29*28*27 – четырёхбуквенных «слов» ( кран, брак, краб, фрак…) Определение 2 Упорядоченные подмножества данного конечного множества называются размещениями. А(30)4=30*29*28*27= 30!/(30-4)! А(m)n=m!/(m-n)!; n<=m. Закрепление: Вычислить: А(10)3; A(12)2; A(9)4. Упростить выражение: a) P2x+1/(A2x-1^n-1 * P2x-n);
b) P(m-n)*A(m)n/P(m+1); c) A(m-n)n-1*P(m-n)/10P(m-1); d) A(10)n* P(10-n)/P(9). Решите уравнение: a) A(x)2=90; b) A(y)2=42; c) A(x)3=56x; d) (A(x)5+A(x)3)/A(x)3=110; e) A(x+1)n+1*P(x-n)/P(x-1)=90; f) P(x+2)/A(x)n*P(x-n)=132. Задача №1 Сколько различных четырёхзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Решение: А(10)4-0,1*А(10)4 ( число 0123… не является четырёхзначным). Ответ: 4536. Задача №2 26 выпускников 10 «А» класса решили обменяться фотокарточками. Сколько было заказано фотокарточек? Решение: 25*26. Ответ: 650. Задача №3 Учащиеся изучают 9 предметов. 2 сентября в классе должно быть 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание, чтобы все предметы были разные. Решение: А(9)5= 9*8*7*6*5. Ответ: 15120. Задача №4 Размещениями из m элементов по n называют такие выборки, которые, имея по n элементов, выбранных из данных m элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Решение: A(m)n=m!/(m-n)!; A(n)n=n!/(n-n)!=n!=P(n); Ответ: 0! =1
Сочетания. Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля.
Задача №1 Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. (без повторений). Решение: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
А(9)3= 9!/6!=7*8*9=504. 123 124 125 126 127 128 129 234 235 236… 132 142 152 213 214 215 231 241 251 321 421 521 312 412 512 В каждом столбце ровно 6 различных трёхзначных чисел, составленных из одних и тех же цифр, но в различном порядке. Р(3)=3!=6. Эти трёхзначные числа отличаются друг от друга либо порядком их расположения в одном и том же столбце, либо порядком цифр. Задача №2 Сколько различных произведений по 3 сомножителя можно составить, используя те же цифры. Решение: А(9)3/Р(3)=504/6= 84. Одно из возможных произведений 1*2*3; все другие произведения отличаются только порядком множителей и, соответственно, не являются различными произведениями. Определение 3 Произвольные неупорядоченные подмножества данного множества называются сочетаниями (различные сочетания отличаются друг от друга только составом элементов). С(9)3=А(9)3/Р(3)=84. С(m)n=A(m)n/P(n) Задача №3 В активе класса 12 членов (включая старосту). Из них решено выбрать тройку-делегацию на конференцию. Сколькими способами это можно сделать? Решение: С(12)3=12!/9!*3!=10*11*12/6=220. Ответ: 220. Задача №4 Сколько различных троек включают старосту класса и сколько-нет? Решение: Разобьём тройки на два разных класса: 1) Содержащие в составе делегации старосту; 2) Не содержащие в составе делегации старосту; Если староста
входит
в состав делегации, то из оставшихся 11 членов комитета нужно выбрать ещё двоих, то есть С(11)2=55 Если староста
не входит
в состав делегации, то из 11 членов комитета нужно выбрать троих, то есть С(11)3=165 Вывод: С(12)3=С(11)3+С(11)2.
Если в активе класса m комсомольцев, а в делегацию избрали n членов, то 1) С(m)n=C(m-1)n + C(m-1)n-1 – правило Паскаля* 2) С(m)n=C(m)m-n *Блу Паскаль(1623-1662гг) - французский религиозный философ, писатель, математик, физик. Доказательство: С(m)n=m!/(m-n)!*n! C(m)m-n=m!/(m-m+n)!=m!/(m-n)!*n! Формулы (1) и (2) дают простой способ последовательного вычислений значений С(m)n. Будем считать: C(0)0=1; C(1)0=1; C(1)1=1. C(2)1=C(1)1+ C(1)0=2 C(3)1=C(2)1+C(2)0=2+1=3 и т.д. С(0)0 1 С(1)0 С(1)1 2 С(2)0 С(2)1 С(2)2 4 С(3)0 С(3)1 С(3)2 С(3)3 8 …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………….С(n)0 C(n)1 C(n)2 ………………………… C(n)n (n+1)строка При составлении (n+1)n строки каждое слагаемое n-й строки участвует в образовании двух чисел (n+1) n строки- стоящего слева и стоящего справа от него. Поэтому, если сложить числа (n+1) й строки через одно, то в полученную сумму войдут по одному разу все числа n-й строки. Складывать через одно можно двумя способами- начав с первого числа строки или со второго числа. В обоих случаях получится одна и та же сумма, равная сумме чисел в n-й строке С(n)0+C(n)2+C(n)4+… = C(n)1+C(n)3+C(n)5+…=C(n-1)0 + C(n-1)1+C(n-1)2 +…C(n-1)(n-1) Из него следует, что чисел (n+1)й строки вдвое больше суммы чисел n-й строки. Иными словами, при переходе к следующей строке арифметического треугольника сумма чисел в строке удваивается. Но, в первой строке стоит только одно число 1 или 2^0. Поэтому, в (n+1)-й строке сумма чисел равна 2^n. 3) C(n)0+C(n)1+C(n)2+…+C(n)n=2^n 1 1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Закрепление. Сканави № 5001-5007, 5011-5016, 5023-5031 Решить уравнения: №5001-5007 а) A(x)2*C(x)x-1=48; б) С(х)1+6*С(х)2+6*С(х)3=9*x^2-14x; в) C(x+1)x-2 + 2*C(x-1)3=7*(x-1); г) A(x)4/(A(x+1)3 – C(x)x-4) = 24/23; д) A(x)3 + C(x)x-2 =14x; е) A(x)3- 2*C(x)4 = 3*A(x)2; ж) A(x)5/C(x-2)x-5 = 336; з) A(x) x-3 = X*P(x-2); и) A(x)x-3=X*P(x-2); к) P(x+2)/A(x-1)x-4 * P(3) = 210; л) A(x)3 + 3*A(x)2/P(x+1) = 0,5. Задача №5 В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы? Решение: С(14)3= 14!/11!*3!= 12*13*14/6 = 364. Ответ: 364. Задача №6 Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трёх членов редакционной коллегии ( комиссии). Сколькими способами это можно сделать? Решение: С(80)5= 80!/75!*5! = 24040015 Ответ: 24040015. Задача №7
В секции 9 баскетболистов. Сколько разных составов баскетболистов может собраться в зале? Составы считаются разными, если они различаются числом участников или самими участниками. Решение: С(9)0+С(9)1+С(9)2+С(9)3+С(9)4+С(9)5+С(9)6+С(9)7+С(9)8+С(9)9=2^9 Ответ: 512. Задача №8 Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер лаборатории вместе уезжать не должны? Решение: С(17)5+С(3)1*С(17)4+С(3)2*С(17)3=6188+3*680 Ответ: 15368. Задача №9 Сколько всех делителей из числа 210? Решение: 210=2*3*5*7 С(4)0+С(4)1+С(4)2+С(4)3+С(4)4=2^4=16 Ответ: 16. Задача №10 Сколько всех делителей у числа 30030? Решение: 30030=2*3*5*7*11*13 С(6)0+С(6)1+С(6)2+С(6)3+С(6)4+С(6)5+С(6)6=2^6=64 Ответ: 64. Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Решить уравнение: 1) С(x-1)2=6 2) 2*C(x-1)2+2*C(x)x-2=x^2-1 Решить уравнение: 1) С(х-2)x-4=2*x^2-7x-3 2) C(x-4)x-6+3*x=20 Задача: Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из группы в 26 человек? Решение: С(26)3=26!/(23! *3!)=(24*25*26)/6=26000 Задача: В ящике 10 белых и 8 красных шариков. Одновременно наугад выбираются два шарика. Сколькими способами можно сделать этот выбор? Решение: С(18)2=153 С(10)2=45 Биноминальная формула (x-a)*(x-b)=x^2-(a+b)*x+a*b. (x-2)*(x-b)*(x-c)=x^3-(a+b+c)*x^2+(ab+bc+ac)*x-a*b*c.
Pn(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d)….(x-p). Pn(x)=x^n – x^(n-1) * (a+b+c+d+….+p)+x^(n-2) * (a*b+a*c+….+b*c+…)-x^(n-3) * (a*b*c+a*b*d+…)+…+(-1)^n*a*b*c*d…p. (x-a)^n=C(n)0*x^n – C(n)1*x^(n-1)*a^1 + C(n)2 * x^(n-2) * a^2 – C(n)3* x^(n-3)*a^3+…+(- 1)^n*C(n)n*a^n – бином Ньютона Закрепление. Разложить по формуле бинома Ньютона а) (1+2*i)^7 Ответ: 29+278*I (2*y^2 – 3*y)^5; (2* 3√x – 4*√x)^4. б) (a+b*i)^6 + (a- b*i)^6 Ответ: 2*a^6 – 30*a^4*b^2 – 2*b^6 в) (cosµ + i*sinµ)^7 выразить sin7α через sinα г) (cosµ + i*sinµ)^5 выразить sin5α через sinα T(к+1) = (-1)^k * C(n)k * a^k * x^(n- k) Закрепление 1. Найти пятый член расположения бинома (2*х*√х - 3√х)^8. Ответ: 1120*х^7 * 3√x Дома: А9-10 №1665, 1666, 1667 (1+х)^n = 1+n*x √1,012 1,002^5 = (1+0,002)^5 с точностью до 0, 000001. 2,006^3 = (2*1,003)^3 = 2^3 * (1+0,003)^3 10,02^5, 6,03^4; 4,97^5. 3,001^4 = (3*1,000(3))^4 = 3^4 * ( 1+ 0,000(3))^4 (a+√b)^12 T9-? (a^2+b^3)^13 T6-? Отметим некоторые свойства формулы (x - a )^n = 1) Число членов разложения на единицу больше показателя n. 2) Показатели первого числа (х) убывают, а показатели второго числа (а) возрастают от члена к члену на одну единицу; сумма показателей в каждом члене равна n. 3) Коэффициенты членов разложения, равноудалённых от концов, равны между собой (они совпадают с числами соответствующей строки треугольника паскаля). 4) Сумма всех биноминальных коэффициентов равна 2^n. 5) Сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биноминальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах. 1) Найти средний член разложения бинома(2*x + y/2)^8 Ответ: 70*х^4*y^4
2) В разложении бинома (√1+х - √1-х)^n коэффициент третьего члена разложения равен 28. Найти средний член разложения. Ответ: 70*(1-х^2)^2 3) Найти член, содержащий х^4 в разложении бинома (√х+3√х)^9. [ x^3 в разложении (√х + 1/3√х)^16]. Ответ: 84*х^4,[C(16)6*x^3]. 4) В разложении бинома ( х^5 + 1/x^20)^1000 [3√a+√a^(-1)] найти член, не зависящий от х(а) Ответ: С(1000)200, [5005]. 5) Определить х, если четвёртый член разложения бинома(10^log√x + 1/log(x)√10)^7 равен 3500000. Ответ: 1000, 1/√10. 6) Найти члены, не содержащие иррациональности в разложении бинома. а) (3√3 + √2)^5 Ответ: Т3=60. б) (5√3+7√2)^24 Ответ: С(24)10. в) (6√х - 9√х)^21 Ответ: Т10=-293990*х^3. г) (х^(1/3) - у^0.2)^19 Ответ: Т11=92378*х^3*у^2 7) Найти наибольший член разложения а) (1+√2) ^50 Ответ: Т30 = С(50)29 *(√2) ^29 = С(50)21* (√2) ^29 б) (√2 + √3) ^ 101 Ответ: Т57 = С(101)56* (√2)^45*(√3) ^56 Решение Т(к+1)/Т(к) = С(50)к*(√2)^к/С(50)к-1*(√2) ^(к-1) = 51-к/к* √2 51-к/к* √2 < 1 K>51-к/к* √2 K>51*(2-√2) Наименьшие целые К, которые больше 51*(2-√2) есть 30. => Т30>Т31. 8) Найти x,y,z, если известно, что второй, третий и четвертый члены разложения (х+у)^z равны 240;720;1080. Ответ: х=2, у=3, z=5. 9) Вычислить 1,002^5 с точностью до 0.000001 Ответ: 1.010040. Когда второе число бинома значительно меньше 1, то члены разложения (1+х) ^ n содержащие высокие степени Х, становятся очень малыми. При вычислениях, не требующих высокой точности, можно отбросить эти малые члены, если они меньше допустимой погрешности и вычислений и считать. (1+-х) ^к примерно = 1+-к*х к- любые √1.012 = (1+0.012) ^ 0.5 примерно = 1+0.5* 0.012 = 1,006 4√1.02 3√8.024 3√999=3√1000-1=3√1000*(1-0.001).