УДК

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Самохвалова Оксана Ивановна - преподаватель высшей

квалификационной категории

Кумертауский филиал Федерального Государственного Бюджетного

Образовательного Учреждения

«Оренбургский государственный университет», г. Кумертау

Аннотация. В статье рассмотрена взаимосвязь между физическими

знаниями

и

математическими

умениями,

используемыми

при

решении

электротехнической задачи. Уделено большое внимание методу исключения

неизвестных при решении СЛУ – методу Гаусса.

Ключевые слова: электрическая цепь, сила тока, закон Кирхгофа, система

линейных уравнений, метод Гаусса.

Актуальность. Электротехника – это неотъемлемая часть современной

промышленности, которая неразрывно связана с глубокими знаниями и

умениями применять математический аппарат в практической деятельности

будущего высококвалифицированного электрика.

Объект исследования: электрическая цепь.

Предмет исследования: применение метода Гаусса к расчету сил токов,

протекающих в электрической цепи.

Цель исследования:

математический расчет электрической цепи с

помощью законов Кирхгофа по методу Гаусса.

Достижение поставленной цели требовало решения следующих задач:

1) Проанализировать данную электрическую цепь;

2) С помощью первого и второго законов Кирхгофа определить число

уравнений, входящих в систему линейных уравнений;

3) Вычислить значения сил токов, по указанным контурам электрической

цепи, используя метод Гаусса (то есть решить систему линейных уравнений).

Теоретическая значимость

состоит в обосновании необходимости

межпредметных связей математических умений и физических знаний.

Практическая значимость

заключается в ценности произведенных

математических расчетов, в применении элементов высшей математики в

электротехнике.

Чтобы рассчитать постоянный ток цепи, необходимо найти токи,

протекающие по ветвям цепи с помощью составления системы уравнений

методом Кирхгофа.

Г.Р. Кирхгоф – немецкий физик XIX века, известен разработанными им

законами, определяющими ток и напряжение в электрических цепях. Эти

законы являются основой анализа электрических цепей и позволяют точно

определять значения тока и напряжения внутри цепи [1, 19].

Рассмотрим алгоритм расчета цепей методом уравнений Кирхгофа:

1. Определить узлы и ветви в схеме,

2. Определить количество уравнений.

3. Составить уравнения по первому закону Кирхгофа.

4. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа [3, 48].

Затем решить полученную систему линейных уравнений методом Гаусса.

К.Ф. Гаусс – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист

XIX века, он уделял большое время для работы над теорией чисел (простые и

периодические дроби); в геометрии изучал теорию поверхностей, правильные

многоугольники; в алгебре доказал основную теорему о числе корней

алгебраического уравнения; в астрономии вычислял орбиты планет; в физике

занимался электромагнетизмом.

В нашей работе особое внимание привлекает метод Гаусса для решения

систем m

линейных уравнений с n

неизвестными, который заключается в

последовательном исключении неизвестных в равносильной системе уравнений

ступенчатого

вида,

полученной

из

данной

с

помощью

элементарных

преобразований: умножения уравнения на ненулевое число и сложение его с

другим уравнением, перестановка местами любых двух уравнений системы [2,

35].

Итак, рассмотрим

Задача:

Дана

электрическая

цепь

с

заданными

параметрами:

R

1

=

1 Ом , R

2

=

2 Ом , R

3

=

3 Ом , R

4

=

1 Ом , R

5

=

3 Ом , R

6

=

2 Ом , E

1

=

10 В , E

2

=

15 В , E

3

=

20 В

.

Найти протекающие токи вдоль контуров электрической цепи.

По первому закону Кирхгофа: сумма токов

в

узле

равна

нулю,

получим

четыре

уравнения для каждого узла:

A:

−

I

1

+

I

2

−

I

4

=

0 ,

B:

I

1

−

I

3

−

I

5

=

0 ,

C:

I

4

+

I

5

+

I

6

=

0 ,

D:

−

I

2

+

I

3

−

I

6

=

0.

Рисунок 1 – Схема электрической цепи

По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом

контуре равна алгебраической сумме падений напряжения этого контура,

получим соответственно три уравнения:

ABC:

I

1

R

1

−

I

4

R

4

+

I

5

R

5

=

E

1

,

ACD:

I

2

R

2

+

I

4

R

4

−

I

6

R

6

=−

E

2

,

BCD:

I

3

R

3

−

I

5

R

5

+

I

6

R

6

=

E

3

.

Составим следующую систему линейных уравнений:

{

−

I

1

+

I

2

−

I

4

=

0

I

1

−

I

3

−

I

5

=

0

I

4

+

I

5

+

I

6

=

0

I

1

R

1

−

I

4

R

4

+

I

5

R

5

=

E

1

I

2

R

2

+

I

4

R

4

−

I

6

R

6

=−

E

2

I

3

R

3

−

I

5

R

5

+

I

6

R

6

=

E

3

Подставив в нее данные из электротехнической задачи, получим

следующую систему линейных уравнений:

{

−

I

1

+

I

2

−

I

4

=

0

I

1

−

I

3

−

I

5

=

0

I

4

+

I

5

+

I

6

=

0

I

1

−

I

4

+

3 I

5

=

10

2 I

2

+

I

4

−

2 I

6

=−

15

3 I

3

−

3 I

5

+

2 I

6

=

20

Решим последнюю систему линейных уравнений методом Гаусса, для

этого составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду с

помощью элементарных преобразований над строками матрицы.

(

I

1

−

1

1

0

1

0

0

I

2

1

0

0

0

2

0

I

3

0

−

1

0

0

0

3

I

4

−

1

0

1

−

1

1

0

I

5

0

−

1

1

3

0

−

3

I

6

0

0

1

0

−

2

2

¿

0

0

0

10

−

15

20

)

Сложим соответственно первую и вторую, первую и четвертую строки

матрицы:

(

I

1

−

1

0

0

0

0

0

I

2

1

1

0

1

2

0

I

3

0

−

1

0

0

0

3

I

4

−

1

−

1

1

−

2

1

0

I

5

0

−

1

1

3

0

−

3

I

6

0

0

1

0

−

2

2

¿

0

0

0

10

−

15

20

)

Умножим вторую строку на минус один и сложим с четвертой строкой,

умножим вторую строку на минус два и сложим с пятой строкой:

(

I

1

−

1

0

0

0

0

0

I

2

1

1

0

0

0

0

I

3

0

−

1

0

1

2

3

I

4

−

1

−

1

1

−

1

3

0

I

5

0

−

1

1

4

2

−

3

I

6

0

0

1

0

−

2

2

¿

0

0

0

10

−

15

20

)

Поменяем местами третью и четвертую строки матрицы:

(

I

1

−

1

0

0

0

0

0

I

2

1

1

0

0

0

0

I

3

0

−

1

1

0

2

3

I

4

−

1

−

1

−

1

1

3

0

I

5

0

−

1

4

1

2

−

3

I

6

0

0

0

1

−

2

2

¿

0

0

10

0

−

15

20

)

Умножим третью строку на минус два и сложим с пятой, умножим

третью строку на минус три и сложим с шестой строкой:

(

I

1

−

1

0

0

0

0

0

I

2

1

1

0

0

0

0

I

3

0

−

1

1

0

0

0

I

4

−

1

−

1

−

1

1

5

3

I

5

0

−

1

4

1

−

6

−

15

I

6

0

0

0

1

−

2

2

¿

0

0

10

0

−

35

−

10

)

Умножим четвертую строку на минус 5 и сложим с пятой строкой,

умножим четвертую строку на минус три и сложим с шестой строкой:

(

I

1

−

1

0

0

0

0

0

I

2

1

1

0

0

0

0

I

3

0

−

1

1

0

0

0

I

4

−

1

−

1

−

1

1

0

0

I

5

0

−

1

4

1

−

11

−

18

I

6

0

0

0

1

−

7

−

1

¿

0

0

10

0

−

35

−

10

)

Умножим пятую строку на минус восемнадцать, а шестую – на

одиннадцать и сложим между собой:

(

I

1

−

1

0

0

0

0

0

I

2

1

1

0

0

0

0

I

3

0

−

1

1

0

0

0

I

4

−

1

−

1

−

1

1

0

0

I

5

0

−

1

4

1

−

11

0

I

6

0

0

0

1

−

7

115

¿

0

0

10

0

−

35

520

)

От последней матрицы ступенчатого вида перейдем к соответствующей

системе линейных уравнений и решим ее:

{

−

I

1

+

I

2

−

I

4

=

0

I

2

−

I

3

−

I

4

−

I

5

=

0

I

3

−

I

4

+

4 I

5

=

10

I

4

+

I

5

+

I

6

=

0

−

11 I

5

−

7 I

6

=−

35

115 I

6

=

520

{

−

I

1

+

I

2

−

I

4

=

0

I

2

−

I

3

−

I

4

−

I

5

=

0

I

3

−

I

4

+

4 I

5

=

10

I

4

+

I

5

+

4 ,5

=

0

−

11 I

5

−

7 ∙ 4 ,5

=−

35

I

6

≈ 4 ,5

{

−

I

1

+

I

2

−

I

4

=

0

I

2

−

I

3

−

I

4

−

0 ,3

=

0

I

3

−

I

4

+

4 ∙ 0 ,3

=

10

I

4

+

0 ,3

+

4 ,5

=

0

I

5

≈ 0 ,3

I

6

≈ 4 ,5

{

−

I

1

+

I

2

+

4 ,8

=

0

I

2

−

I

3

−

4 ,8

−

0 ,3

=

0

I

3

+

4 ,8

+

1 ,2

=

10

I

4

≈

−

4 ,8

I

5

≈ 0 ,3

I

6

≈ 4 ,5

{

−

I

1

+

I

2

+

4 ,8

=

0

I

2

−

4

−

4 ,8

−

0 ,3

=

0

I

3

≈ 4

I

4

≈

−

4 ,8

I

5

≈ 0 ,3

I

6

≈ 4 ,5

{

I

1

≈ 4 ,3

I

2

≈

−

0 ,5

I

3

≈ 4

I

4

≈

−

4 ,8

I

5

≈ 0 ,3

I

6

≈ 4 ,5

Таким образом, нашли все значения силы тока по указанным контурам.

Если при расчетах значения силы тока получились отрицательными, то в

электрической схеме нужно изменить направление тока на противоположное.

Заключение

В результате проведенного нами исследования по данной теме мы

реализовали стоящие перед нами задачи исследования:

1) Проанализировали данную электрическую цепь;

2) С помощью первого и второго законов Кирхгофа определили число

уравнений, входящих в систему линейных уравнений;

3) Вычислили значения сил токов, по указанным контурам электрической

цепи, используя метод Гаусса (решили систему линейных уравнений).

Таким образом, умение решать системы линейных уравнений методом

Гаусса играет важную роль при решении электротехнических задач, так как

электрическая цепь может содержать несколько узлов, а, следовательно, и –

контуров, что приводит к достаточно громоздким системам линейных

уравнений, которые решить другими методами довольно затруднительно.

Список использованных источников

1. Богомолов, В.С. Густав Роберт Кирхгоф (1824-1887) / В.С. Богомолов.

– Калининград : Калинингр. кн. изд-во, 2021. – 236, [2] с. ил., факс.; 17. –

(Имена в истории науки); ISBN 5-85500-491-0.

2. Гулиян, Б.Ш. Элементы высшей математики : учебное пособие / Б.Ш.

Гулиян, Г.Б. Гулиян. – Москва : КНОРУС, 2025. – 448 с. – (Среднее

профессиональное образование).

3. Мартынова, И.О., Электротехника : учебник / И.О. Мартынова. – М. :

КНОРУС, 2024. – 304 с. – (Среднее профессиональное образование).