Визуальные модели задачи определения расстояния от точки до

плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - это одна из опорных задач

стереометрии, которая должна «на автомате» использоваться при решении

содержательных стереометрических задач. В этой связи очень важно выработать

умение определять расстояние от точки до плоскости.

Я предлагаю учащимся несколько визуальных моделей. Мы рассматриваем их,

отслеживая и проговаривая стереометрические теоремы, позволяющие объяснить эти

модели, а далее примеряем эти модели на простейшие многогранники.

Модель 1. Признак перпендикулярности плоскостей.

Учащиеся знают, что если плоскость проходит через прямую перпендикулярную

некой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности

плоскостей). Как его визуализировать?

Берём ручку. Ставим её перпендикулярно столу. Признак перпендикулярности прямой

и плоскости нам в помощь. Приставляем книжку к ручке. Любое положение книжки

в этой конструкции являет собой плоскость перпендикулярную столу.

Далее на кубе отрабатываем эту модель. Большую помощь в формировании этого

навыка оказывают домашние практические творческие работы. Ребята рассматривают

не только куб, но и правильные треугольные и шестиугольные призмы. Работы

выполняют вручную и в электронном виде.

После отработки этого навыка переходим к следующему. Как опустить

перпендикуляр из точки на плоскость?

Модель 2. Расстояние от точки до плоскости.

Визуализируем:

Некая точка висит над столом. Берём книжку, ставим её перпендикулярно столу

(видение перпендикулярных плоскостей уже есть) и ведём пока не «захватим» точку.

Точка попадает в плоскость перпендикулярную плоскости стола. Остаётся опустить

перпендикуляр на линию пересечения плоскостей, то есть на ребро книжки.

Итог: чтобы опустить перпендикуляр из точки А на плоскость

α

, нужно поместить

точку А в плоскость перпендикулярную плоскости

α

и опустить перпендикуляр из

точки А на линию пересечения плоскостей.

Такие базовые навыки, как видение перпендикулярных плоскостей, опускание

перпендикуляра из точки на плоскость, отрабатываем, решая задачи . Предложенную

подборку задач я прошу учащихся решить, определив перпендикулярные плоскости.

Для облегчения решения все задачи сопровождаются рисунками, на которых можно

производить необходимые построения. Данный тренажёр можно использовать как

трансформер , учитывая различные учебные возможности учащихся, а именно: убрав

информацию правого столбика - предложить более подготовленным учащимся;

оставив информацию правого столбика - использовать как обучающий тренажёр.

1. В единичном кубе A…D

1

найдите

расстояние от точки A до плоскости BCD

1

.

Наклонная плоскость перпендикулярна плоскости

передней грани (ВС ручка), А1В линия пересечения

плоскостей. Опускаем перпендикуляр из точки А на

ребро А1В. АО =

√

2

2

.

2. В единичном кубе A…D

1

найдите

расстояние от точки A до плоскости CDA

1

.

Наклонная плоскость перпендикулярна плоскости

боковой грани (А1В1 ручка), А1D линия пересечения

плоскостей. Опускаем перпендикуляр из точки А на

ребро А1D. АО =

√

2

2

.

3. В единичном кубе A…D

1

найдите

расстояние от точки A до плоскости BC

1

D.

Диагональная плоскость АА1С1 перпендикулярна

наклонной плоскости (ВD ручка). ОС1 линия

пересечения плоскостей. Прямая AO1 параллельна

плоскости BC1D и, следовательно, расстояние от

точки A до плоскости BC1D равно расстоянию от точки

O1 до этой плоскости. О1Е =

√

3

3

.

При решении данной задачи используем

Метод подмены точки

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, мы можем взять любую точку с

прямой, проходящей через данную точку параллельно плоскости

Модель 3. Метод подмены точки. (точка параллельной прямой).

Ручка «висит» параллельно столу. Расстояние от любой точки ручки до стола

одинаково.

4. В единичном кубе A…D

1

найдите

расстояние от точки A до плоскости BA

1

C

1

.

Плоскость А1ВС1 перпендикулярна диагональной

плоскости DВВ1. О1В линия пересечения плоскостей.

Прямая AC параллельна плоскости BA1C1.

Следовательно, искомое расстояние равно

расстоянию от центра O грани ABCD куба до

плоскости BA1C1.

√

3

3

.

5. В правильной треугольной призме

ABCA

1

B

1

C

1

, все ребра которой равны 1,

найдите расстояние от точки A до

плоскости BCA

1

.

Плоскость А1АD перпендикулярна наклонной

плоскости. (ВС ручка). А1D ребро двугранного угла.

АЕ =

√

21

7

.

6. В правильной треугольной призме

ABCA

1

B

1

C

1

, все ребра которой равны 1,

найдите расстояние от точки A до

плоскости A

1

B

1

C.

Достроим данную треугольную призму до

четырёхугольной. Плоскость А1АЕ перпендикулярна

наклонной плоскости. (DC ручка). А1Е ребро.

АF =

√

21

7

.

Или можно воспользоваться методом подмены

точки.

Достраивая правильную треугольную призму до прямой четырёхугольной, помним,

что в основании призмы лежит ромб.

7. В правильной треугольной призме

ABCA

1

B

1

C

1

, все ребра которой равны 1,

найдите расстояние от точки A до

плоскости A

1

C

1

B

Достроим данную треугольную призму до

четырёхугольной. Прямая AС параллельна наклонной

плоскости и, следовательно, расстояние от точки A

до этой плоскости равно расстоянию от точки С до

неё. Плоскость С1СМ перпендикулярна наклонной

плоскости. (А1С1 ручка). С1М ребро.

СН =

√

21

7

.

Можно решать эту задачу и не достраивая призму до четырёхугольной. Провести плоскость МВВ1, где М

середина ребра АС и найти расстояние от точки М до ВМ1, где М1 середина ребра А1С1.

(Метод подмены точки)

8. В правильной 6-й призме A…F

1

, ребра

которой равны 1, найдите расстояние от

точки A до плоскости BEE

1

.

Плоскость дна перпендикулярна плоскости ЕВВ1. ЕВ

ребро. АН =

√

3

2

.

На мой взгляд, важно как можно чаще работать с правильной шестиугольной призмой.

Правильный шестиугольник - это кладезь для отработки базовых планиметрических

навыков. Поэтому для решения задач с использованием изображения правильной

шестиугольной призмы полезно иметь «перед глазами» изображение оригинала

правильного шестиугольника.

9. В правильной 6-й призме A…F

1

, ребра

которой равны 1, найдите расстояние от

точки A до плоскости BA

1

E

1

.

Передняя грань перпендикулярна наклонной

плоскости (ВD ручка). А1В ребро. АН =

√

2

2

.

10. В правильной 6-й призме A…F

1

, ребра

которой равны 1, найдите расстояние от

точки A до плоскости A

1

B

1

D.

Плоскость А1АЕ перпендикулярна наклонной

плоскости (ЕD ручка). А1Е ребро. АН =

√

3

2

.

11. В правильной 6-й призме A…F

1

, ребра

которой равны 1, найдите расстояние от

точки A до плоскости A

1

B

1

C.

Плоскость А1АЕ перпендикулярна наклонной

плоскости (FC ручка).

А1G ребро. АН =

√

5

5

.

12. В правильной 6-й призме A…F

1

, ребра

которой равны 1, найдите расстояние от

точки A до плоскости F

1

C

1

D.

АН =

2

√

5

5

Данная плоскость параллельна плоскости A1B1C из

предыдущей задачи, причем AE = 2AG.

Следовательно, искомое расстояние AH от точки A до

плоскости F1C1D в два раза больше расстояния от

точки A до плоскости A1B1C.

Отдельно рассматриваем следующую задачу.

В единичном кубе A…D

1

найдите

расстояние до плоскости BC

1

D от точек С,

А, D1 и В1.

В задаче 3 мы нашли расстояние от точки А до

наклонной плоскости. От точки С данное расстояние

найти проще. h =

√

3

3

.

Чтобы найти расстояние от точки А до данной плоскости, используем второй метод

подмены точки, а именно: метод пропорций.

Метод пропорций.

Если прямая АВ пересекает некую плоскость в точке О и известно расстояние от

точки В до этой плоскости, то отношение расстояний от концов отрезка до плоскости

будет равно отношению расстояний от концов отрезка до точки О. (

ρ

(

А , α

)

ρ

(

В , α

)

=

ОА

ОВ

)

Чаще всего отрезок пересекает некую плоскость в своей середине и метод пропорций

легко визуализируется.

Модель 4. Метод подмены точки. (Метод пропорций.)

Берём карандаш (отрезок), протыкаем любую плоскость так, чтобв середина

карандаша была точкой пересечения карандаша и плоскости, тогда расстояния от

концов карандаша до данной плоскости будут одинаковыми.

Если карандаш (отрезок) пересекает плоскость в своей середине, то расстояния от

концов карандаша до данной плоскости будут одинаковы.

Так как отрезок АС пересекает нашу плоскость в своей

середине, то расстояние от концов отрезка до

плоскости одинаково и, следовательно, расстояние

от точки А до плоскости BC1D равно расстоянию от

точки С до плоскости и равно

√

3

3

.

найдите расстояние до плоскости BC

1

D от

точек D1 и В1.

Так как отрезок D1С пересекает нашу плоскость в

своей середине, то расстояние от концов отрезка до

плоскости одинаково и, следовательно, расстояние

от точки D1 до плоскости BC1D равно расстоянию от

точки С до плоскости и равно

√

3

3

.

Аналогично , расстояние от точки В1 до плоскости

BC1D равно расстоянию от точки С до плоскости и

равно

√

3

3

.

Замечание. Примечательно, что для нахождения расстояния от точки В1 до нашей

плоскости «методом пропорций» не нужно доказывать, что отрезок В1С

перпендикулярен плоскости. Более того, мы не опускали перпендикуляры на

плоскость из точек А, В1 и D1 при нахождении расстояний от них до этой плоскости.