КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ФИГУР

Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы,

правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной

частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление

деятельности человека - архитектура.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок,

луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим

фигурам в геометрии не даётся определений. Неопределяемыми геометрическими

фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать

прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными

латинскими буквами: а, b, с, d ….

Основные геометрические понятия возникли еще в доисторические времена. Наблюдая

за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта

и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры

и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища,

изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это

постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных

геометрических понятий. Одним из первых достижений абстрактного мышления

древнего человека стало понимание прямой линии.

По форме простые геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Плоскость является частным случаем поверхности.

Многогранники — геометрические тела, оболочка которых образована отсеками

плоскостей.

Грани — отсеки плоскостей, которые составляют поверхность (оболочку)

многогранника;

Ребра — отрезки прямых, по которым пересекаются грани; вершины — концы ребер.

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в

повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных

предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного

коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются

кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра

(алмаз) и т. д.

Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся

количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1) Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника),

вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры

или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).

2) Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по

отношению друг к другу являются смежными.

3) Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону

плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням

многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином

выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники,

которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1) Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: - обычные или

классические (призма, пирамида, параллелепипед),

- правильные (также называемые Платоновыми телами),

- полуправильные (второе название – Архимедовы тела).

2) Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды

многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое

имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют

основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в

виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько

разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1) Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм -

многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами

конгруэнтных противоположных сторон. Прямоугольным параллелепипедом

называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра

перпендикулярны основанию.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного

параллелепипеда.

· Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного

параллелепипеда — прямоугольники.

· Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.

· Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.

· Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

· В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной

точке и делятся этой точкой пополам.

· Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.

· Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед

является кубом.

· Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его

измерений (длины, ширины, высоты).

2) Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.

3) Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90)

между гранями и основанием.

4) Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного

многоугольника с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

1) Конгруэнтные основания.

2) Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.

3) Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из

n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует

отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно

треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и

четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название

пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в

основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида,

четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы,

кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

· Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее

проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.

· Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер

пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо

также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

1) В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то

все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно

прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.

2) Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые

рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными

между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер.

Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды

многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

· Тетраэдр.

· Гексаэдр.

· Октаэдр.

· Додекаэдр.

· Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу

Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с

природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали

сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме

напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому

захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли

большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для

архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов

многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им

даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением

атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута,

что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных

деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда,

который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и

свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и

углы куба равны между собой.

Из этого вытекают следующие свойства:

1) Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг

к другу.

2) Все грани – конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может

быть принят за основание.

3) Все межгранные углы равны 90.

4) Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.

5) Куб имеет 9 осей симметрии, которые все пересекаются в точке пересечения

диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр – это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из

вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1) Все грани тетраэда – это равносторонние треугольники, из чего следует, что все

грани четырёхгранника конгруэнтны.

2) Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет

равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все

углы равны.

3) Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны,

то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.

4) Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной

(ортоцентр) грани.

Октаэдр

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как

октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями

четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1) Само название геометрического тела подсказывает количество его граней.

Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой

из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.

2) Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из

которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким

образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой

правильный пятиугольник, то получится додекаэдр – фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1) В каждой вершине пересекаются по три грани.

2) Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.

3) У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через

вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное

геометрическое тело с 20 равными гранями.

Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1) Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.

2) В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов

вершины составляет 300.

3) Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии,

проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы

тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники.

Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1) Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например,

усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае

Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.

2) Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел – звёздчатые многогранники,

грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния

двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы

октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Тела вращения — геометрические тела, оболочка которых представляет собой

поверхность вращения (например, шар) либо состоит из отсека поверхности вращения

и одного (двух) отсека плоскостей (например, конус, цилиндр и т. п.)

Цилиндр

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной

плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих

соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющими цилиндра. Так

как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость

( или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при

параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим)

прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая

поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям

основания.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется

расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая,

проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Свойства цилиндра.

1) Основания равны и параллельны.

2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу

Конус

Конусом называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не

лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих

вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точьками окружности основания,

называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и

боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром

основания.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость

основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью

прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Свойства конуса:

1) Все образующие конуса равны.

2) Углы наклона образующих к основанию равны.

3) Углы между осью и образующими равны .

4) Углы между осью и основанием прямые.

Шар

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на

расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром

шара, а данное расстояние радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой.

Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра

на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой

шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр

шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально

противоположными точками шара.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при

вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Свойства шара:

1) Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2) Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3) Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4) Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой

площадью поверхности.

5) Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество

больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6) Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно

провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7) Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через

центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных

точках.

8) Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и

больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости

пересечения образуется круг.

Список литературы:

1.Детская энциклопедия. т.2 - М.: "Педагогика", 1972г.

2.Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: пособие для

учащихся 5-6 классов средней школы. - М.: "Просвещение", 1989г.

3.Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: учебное пособиедля

учащихся 5-6 классов. - М.: "Мирос", 1995.

4.Энциклопедический словарь юного натуралиста /Сост.А.Г. Рогожкин. - М.:

"Педагогика", 1981.