УДК 514

О МНОГОГРАННИКАХ И ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ, ИХ

КЛАССИФИКАЦИЯ

Попкова Юлия Павловна

бакалавр

Владимирский государственный университет имени Александра

Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Аннотация: в данной статье рассмотрено деление трехмерные

геометрических фигур на группы и подгруппы. Также в этой статье

акцентируется внимание на изучение трехмерных геометрических фигур в

начальной школе.

Аnnotation: this article considers the division of three-dimensional

geometric shapes into groups and subgroups. This article also focuses on the

study of three-dimensional geometric shapes in elementary school.

Ключевые слова: геометрия, трехмерные геометрические фигуры,

многогранники, тела вращения.

Key words: geometry, three-dimensional geometric figures, polyhedra,

bodies of revolution.

Изучение трехмерных геометрических фигур в начальной

школе.

Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Многогранник — это тело, ограниченное конечным числом

плоскостей. Эти плоскости, пересекаясь, образуют грани многогранника

— многоугольники. Стороны этих многоугольников называются рёбрами

многогранника, а концы рёбер — его вершинами.

Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения

плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в

той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси

возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры —

возникают объекты.

Виды многогранников

Многогранники выделены двугранным или многогранным углом.

Двугранный угол – это пространственная геометрическая фигура,

образованная двумя плоскостями, исходящими из одной прямой.

Призма и её свойства

Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно

две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями),

лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде

параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько

разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1.

Параллелепипед — образуется, если в основании лежит

параллелограмм — многоугольник с 2 парами равных

противоположных углов и двумя парами конгруэнтных

противоположных сторон. (Параллелепипед — призма,

основание которой — параллелограмм. Параллелепипед

имеет шесть граней и все они — параллелограммы.)

2.

Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.

3.

Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов

(отличных от 90) между гранями и основанием.

4.

Правильная призма характеризуется основаниями в виде

правильного многоугольника с равными боковыми гранями.

Многогранный угол – это фигура, составленная из N плоских

углов, не лежащих в одной плоскости, причем несмежные углы не имеют

общих точек. Общая точка этих углов называется вершиной.

Пирамида и её свойства

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из

одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в

одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани

пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании

может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и

пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет

соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в

основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида,

четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды

многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают

также следующих представителей:

1.

Правильная пирамида имеет в основании правильный

многоугольник, и высота ее проектируется в центр

окружности, вписанной в основание или описанной вокруг

него.

2.

Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из

боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом.

В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой

пирамиды.

●

В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны

(одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием

под одним углом, а вокруг основания можно прочертить

окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины

пирамиды.

●

Если в основании пирамиды лежит правильный

многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани

являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с

абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых

соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название

Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с

такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1.

Тетраэдр.

2.

Гексаэдр.

3.

Октаэдр.

4.

Додекаэдр.

5.

Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны

древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические

тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли,

воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением

Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме

напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому

захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела

представляли большой интерес не только для древних математиков и

философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех

времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной

симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали

связь с божественным началом.

Тела вращения

Тела вращения— объёмные тела, возникающие при вращении

замкнутой линии вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и

вращающееся тело.

Цили

́

ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело,

которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и

совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих

соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями

цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей

кругов, - образующими цилиндра.

Цилиндром называется фигура, полученная при вращении

прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

Примеры тел, имеющих форму цилиндра: бочка, кружка, труба,

свеча. Связанные определения:

Цилиндр называется прямым, если его образующие

перпендикулярны плоскостям оснований.

●

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

●

Высотой цилиндра называется расстояние между его

плоскостями.

●

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр

оснований. Она параллельна образующим.

Свойства:

Основания цилиндра равны.

●

У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

●

У цилиндра образующие параллельны и равны.

●

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой

поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Ко

́

нус — тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки,

не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков,

соединяющих вершину конуса с точками основания. Если основание

конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Связанные определения:

●

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания,

называется образующей конуса.

●

Объединение образующих конуса называется образующей

(или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность

конуса является конической поверхностью.

●

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на

плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется

высотой конуса.

●

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось,

называется осевым сечением.

●

Круговой конус — конус, основание которого является

кругом.

●

Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом)

можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг

прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось

конуса).

Свойства:

●

Конус называется прямым, если прямая соединяющая вершину

конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

●

Образующие прямого конуса равны.

●

Боковая поверхность составлена из образующих.

●

Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой

поверхности.

●

Развертка конуса представляет собой круговой сектор,

радиусом которого является образующая и круг.

Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и

конической поверхностью.

Шар и сфера

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки

которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние

называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около

его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а его оба

конца — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Связанные определения:

●

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то

сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения

шара называются малыми кругами.

●

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой

поверхности (сферы), называется радиусом.

●

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и

проходящей через центр шара, называется диаметром.

●

Концы любого диаметра называются диаметрально

противоположными точками шара.

●

Плоскость, проходящая через центр шара, называется

диаметральной плоскостью.

Свойства:

●

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга

есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на

секущую плоскость.

●

Любая диаметральная плоскость шара является его

плоскостью симметрии. Центр шар является его центром симметрии.

●

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую

точку – точку касания.

●

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек

пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис.

364).

Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 364), а

данное расстояние — радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы

обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-

либо её точкой, также называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её

центр, называется диаметром сферы. (диаметр сферы радиуса R равен 2R).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и

диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Отметим также, что шар может быть получен вращением полукруга вокруг

его диаметра. При этом сфера образуется в результате вращения

полуокружности.

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя

развернуть так, чтобы получилась плоская фигура. Поэтому для сферы

непригоден способ вычисления площади с помощью развёртки.

Из вышесказанного, можно сделать вывод, что одной из целей

начального обучения математике является освоение окружающего

пространства, развитие пространственных представлений. Этому служит

изучение геометрического материала: знакомство с телами,

поверхностями, линиями, выделение фигур определённой формы.

Основными задачами изучения трехмерных геометрических фигур в

1-4 классах являются:

1) формирование пространственных представлений и развитие

воображения, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать;

2) выработка у учащихся практических навыков измерения и

построения геометрических фигур с помощью измерительных и

чертежных инструментов;

3) формирование умений использовать наглядность в приобретении

знаний.

Основой формирования у детей представлений о геометрических

фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность

позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные

геометрические фигуры.