Технологическая карта

Предмет: алгебра

Уровень образования: основное общее образование

Тема: Формула разности квадратов

Тип урока: урок «открытия» нового знания

Форма проведения урока: урок-исследование

Участники: 7 класс

Урок

Формула разности квадратов

Основная цель

урока

Овладение умениями применять формулу разности квадратов при умножении разности двух

выражений на их сумму и при разложении многочлена на множители с помощью формулы

разности квадратов.

Формы работы

Ресурсы

Индивидуальная работа,

работа в парах, группах,

фронтальная работа.

Презентация

Тетрадь

Карта урока

Карточки индивидуальных заданий

Технологическая карта урока

Этапы урока

Цели этапа

Содержание учебного материала.

Деятельность

учителя

Деятельность

обучающихся, форма

работы

Организаци-

онный этап

Психологическа

я подготовка к

общению.

Приветствие учителя.

Здравствуйте, ребята! Китайская пословица гласит

«Я слышу - я забываю,

Я вижу – я запоминаю,

Я делаю – я понимаю!»

Откройте тетради и запишите число.

Приветствие учащихся

Актуализа-

1.Включение

Представим себе, что сегодня наша школа – научно-

исследовательский институт. А вы - сотрудники

ция опорных

знаний

учащихся в

учебную

деятельность

2.Актуализиров

ать учебное

содержание

достаточное для

восприятия

нового знания;

3.

Зафиксировать

все

повторяемые

понятия и

алгоритмы;

одной из её лабораторий по проблемам математики.

Но прежде, чем войти в лабораторию НИИ, вам

необходимо пройти испытание, которое будет

пропуском в эту лабораторию

1. Устная работа. (По слайду)

а) Прочитайте выражения:

а + в; а – в; а в; (а +в)

2

; (а - в)

2

; а

2

; в

2

; а

2

+ в

2

;

(а-в) (а + в) ; а

2

- в

2

б) Найти квадрат одночленов:

с; -4а; 2х

2

; 5m

3

n

2

в) Представить в виде квадрата числа

81; 144;0,36; 0,01;

г) Представьте в виде квадрата одночлена

4а

2

;

9в

2

; 16с

2

; 121b

4

;0,25 х

2

y

2

; 0,81 n

6

д) Выполните умножение:

2

b

2

c 3b; 9

x

5

(-4

x

3

); 3

c

2

(

d

3

-

c

2

+b); (x+y)(m-n),

(х-6)(х+6)

Сформулируйте правила умножения одночлена на

многочлен и многочлена на многочлен.

Фронтальная работа. Устная

работа с проговариванием

правил.

3.

Мотивация к

учебной

деятельности

и фиксация

затруднения

в пробном

действии

1.Создание

условий для

возникновения

у учащихся

внутренней

потребности

включения в

учебную

деятельность

Как настоящие исследователи начнем с теории.

Перед вами на столах «Карта урока». Впишите

свою фамилию и имя.

Выполните задание, за правильные ответы

поставьте «+», а при наличии ошибок « - ».

е) Разложите многочлен на множители

6m + 6n =6(m+n) а (b – 5) + с(b– 5)

m n –m p= m(n-p) 5а

2

+ 5ах + 7а +7х

5a b - 5ac=5a (b-c) x

2

– 36

Что значит разложить многочлен на множители?

Какие способы разложения многочлена на

множители мы знаем?

Сформулируйте правило вынесения общего

множителя за скобки и способа группировки

Взаимопроверка и

самооценка. Дети меняются

тетрадями с соседом по

парте, сверяют с ответами на

экране, ставят плюсы и

минусы (слайд )

Вписывают в колонки

ответы,

Работа с эталоном. (слайд )

Взаимодействуют с соседом

по парте, озвучивают

сформулированный

Не удалось разложить на множители многочлен

x

2

– 6

2

А вы знаете значение термина исследование?

Исследовать – подвергнуть научному изучению.

Исследователь – человек, занимающийся научными

исследованиями.

А лучший способ изучить что-либо - это открыть

самому, сказал известный венгерский, швейцарский

и американский математик Д. По

́

йа.

Эти слова я предлагаю взять в качестве девиза

нашего урока.

алгоритм.

Выявление

места и

причины

затруднения

Самостоятельно

осуществить

пробное

учебное

действие;

Любое исследование предполагает наличие

проблемы, постановку цели и выдвижение гипотез.

Все учёные – исследователи работают по

определенному плану.

Работа в группах

(по рядам)

Проговаривают вслух

возникшую проблему: не

удалось разложить

многочлен x

2

– 36 на

множители, ранее

известными способами.

Цель: найти новый способ

разложения многочленов на

множители

Построение

проекта

вы-

хода

из

за-

труднения

1.Организовать

коммуникативн

ое

взаимодействие

для построения

нового способа

Как настоящие учёные - исследователи, мы должны

выдвинуть гипотезу.

Выполните практическую работу:

Постановка гипотезы

(работа в группах):

Выражение x

2

– 36 можно

разложить на множители

иным способом.

действия,

устраняющего

причину

выявленного

затруднения;

2.Зафиксироват

ь новый способ

действия в

знаковой,

вербальной

форме и с

помощью

эталона.

3. согласовать

цель и тему

урока

Выполните умножение многочленов, упростите

выражение и постарайтесь найти закономерность

(постановка цели исследования)

(х+ 2) (х – 3)

(а + 4) (а – 4)

(у +5) (у – 5)

(х – у)(х + у)

(а – b) (а+ b)

(2а-3)(2а+3)

(у+6х)(6х-у)

-Какую закономерность между данными

выражениями и полученными вы заметили?

-Есть ли что-то общее в условиях предложенных

выражений?

-Давайте проанализируем полученные результаты.

Что получаем в результате? Прочитайте полученные

выражения.

Сделайте вывод.

-Сформулируйте правило умножения разности двух

выражений на их сумму. Укажите условие, когда

можно применять это правило? Как определить,

квадрат какого выражения будет стоять на первом

месте?

Это правило называется формулой сокращённого

Выполняют работу на «карте

урока»

Обсуждают результаты

(работа в группах).

Отвечают на наводящие

вопросы учителя

(фронтальная работа).

Самостоятельно

формулируют правило

(Произведение разности двух

выражений на их сумму

равно разности квадратов

этих выражений)

Отвечают на вопросы

учителя

умножения. Почему? (а-b) (а + b)= а

2

- b

2.

- Если в этом равенстве поменять местами правую и

левую её части, то получим а

2

- b

2

= (а-b) (а + b).

Прочитайте это равенство. Оно называется

формулой разности квадратов.

Что позволяет сделать формула разности квадратов?

Сформулируйте тему урока.

Сформулируйте цели урока

Самостоятельно

формулируют правило

(Разность квадратов двух

выражений равна

произведению разности этих

выражений на их сумму).

-Разложить многочлен на

множители. Появился новый

способ разложения

многочленов на множители!

Формулируют тему урока :

Формула сокращённого

умножения. Формула

разности квадратов.

Формулируют цели урока:

- научиться применять

формулу разности квадратов

для сокращенного

умножения разности двух

выражений на их сумму;

-научиться применять

формулу разности квадратов

для разложения многочленов

на множители.

Реализация

1.Зафиксироват

- Прочитайте формулу сокращённого умножения в

(Работа в парах)

построения

проекта и

первичное

закрепление

во внешней

речи.

ь изученное

учебное

содержание во

внешней речи

учебнике и выполните задание на карте урока,

вставив пропущенные слова.

«Произведение___________ двух выражений на

___________ этих же выражений равно___________

квадратов этих выражений».

- Прочитайте формулу разности квадратов в

учебнике и выполните задание на карте урока,

вставив пропущенные слова.

«Разность квадратов двух выражений равна

_______________ разности этих выражений на их

____________».

- Изменится ли результат сокращенного умножения

разности двух чисел х и у на их сумму, если

поменять местами: (х-у)(х+у) (Слайд)

Слагае-мые

в сумме

(х-у)(у+х)

Да

Нет

разность

чисел и их

сумму

(х+у)(х-у)

Да

Нет

уменьша-

емое и

вычита-

емое

(у-х)(х+у)

Да

Нет

А теперь вернёмся к нашей «проблеме». В начале

урока вам не удалось разложить на множители

двучлен x

2

– 36.

Как нужно преобразовать данное выражение, чтобы

это стало возможным?

Какой способ разложения на множители позволит

выполнить задание?

Читают, проговаривают,

заполняют пропуски.

(Фронтальная работа)

36=6²

Формула разности квадратов

-Каков алгоритм разложения двучлена на множители

по формуле разности квадратов?

x

2

– 36= x

2

– 6² =(х-6)(х+6).

Можно ли используя формулу разности квадратов

разложить на множители многочлены:

а

4

- b

3

; с

2

+b

2

Почему?

- Чтобы разложить двучлен

на множители на основе

формулы разности

квадратов, нужно:

1) представить первый

одночлен, в виде квадрата

одночлена;

2) представить второй

одночлен в виде квадрата

одночлена;

3) проверить, стоит ли

между ними знак « - »

4)воспользоваться формулой

разности квадратов

а

2

- b

2

= (а-b) (а + b).

Подтверждение гипотезы

Решение заданий по эталону

с комментированием на

доске

Записывают подробное ре-

шение заданий

Первичное

усвоение

новых

знаний

Формирование

умений

применения

формулы

разности

квадратов

1.

Разложить на множители:

а) 4b

4

– c

2

б) 81-25х²

в)

1

9

m

2

−

49

36

n

2

г) 0,16

р

8

- 0,09

q

12

Решение заданий по эталону

с комментированием на

доске

1. Cначала представим

каждый одночлен в виде

квадрата одночлена

4b

4

= (2b

2

)

2

; c

2

2. Воспользуемся формулой

разности квадратов:

2.

Выполнить умножение:

- Сформулируйте правило умножения разности двух

выражений на их сумму. Укажите условие, когда

можно применить данную формулу. Как определить,

квадрат какого выражения будет стоять на первом

месте?

а) (4+2у) (4-2у)

б) (5с-8b) (8b+5c)

в) (x -

⁴

y ) (

⁵

x +

⁴

y )

⁵

г) (80-3) (80+ 3)

д) 201*199

3. «Сильные» учащиеся получают карточку и

далее могут работать в группе или индивидуально.

4b

4

– c

2

=(2b

2

)

2

– (c)

2

=

(2b

2

– c) (2b

2

+ c)

Записывают подробное ре-

шение примера в тетрадях

Учащиеся формулируют

правило, озвучивают условие

применения формулы:

умножаются сумма и

разность одних и тех же

выражений. «Первое»

выражение определяется по

скобке с разностью.

Записывают подробное ре-

шение примера в тетрадях и

на доске с комментировани-

ем.

Первичная

проверка

понимания

(слайд)

Проверить

осознанность

применения

формулы

разности

квадратов

1.

В каких заданиях допущены ошибки при

использовании формулы разности квадратов:

1)

(3у + 7х) (7у - 3х) = (3у)² - (7х)² = 9у² - 49х²

2)

25-m²= (5-m) (m+5)

3)

(a-4b) (a+4b) = a²- 8b²

4)

9-c² = (9-c) (9+c)

2.

Укажите номера выражений, которые можно

представить в виде разности квадратов:

1)

(х-5) (х+7)

2)

((-2+а) (2+а)

3)

(у+6) (у-(-6))

4)

(а+с) (с-а)

Фронтальная работа

3.

Вместо

△,

△

ʘ и вставьте пропущенные

,

одночлены так чтобы получившееся

:

равенство было тождеством

1)

(3 -△) (3 +△) =△ -36

х

х

2)

-

▭

b = (2a-

⁴

△

) (2a+

△

)

3)

(10

а

6

- 3

b

4

) (10

а

6

+ 3

b

4

) =

△

-

▭

4)

(9

y

3

+5

b

2

) (

△

-

▭

) =25

b

4

-

ʘ

Самостоя-

тельная ра-

бота с само-

провер-кой

по эталону

Слайд

1.Проверить

своё умение

применять но-

вое учебное со-

держание в ти-

повых условиях

на основе сопо-

ставления свое-

го решения с

эталоном для

самопроверки

Выполните самостоятельную работу на «карте уро-

ка» по вариантам.

Ответы и нормы оценок выводятся на экран.

-Какие ошибки допущены? В чем причина?

После самопроверки проводится анализ и

исправление допущенных ошибок.

(

Выполняют

самостоятельную работу

Самопроверка по эталону и

правильные ответы отмечают

знаком «+», а при наличии

ошибок ставят знак «-».

Выясняют место и причины

допущенных ошибок,

исправляют ошибки.

Информация

о домашнем

задании и

инструктаж

по его вы-

полнению

Запишите д/з

П.21№351, 352,356,359.стр.129 №4,

из истории формул сокращенного умножения.

Рефлексия

деятельности

на уроке

1.Зафиксиро-

вать новое

содержание,

изученное на

Наш рабочий день исследователя в лаборатории по

проблемам математики подходит к концу.

Где применяется формула разности квадратов?

Для быстрого счета, при

упрощении выражений и при

разложении многочленов на

множители.

уроке;

2.Оценить

собственную

деятельность на

уроке;

3.Поблагодарит

ь

одноклассников

, которые

помогли

получить

результат урока;

4.Зафиксироват

ь

неразрешённые

затруднения как

направления

будущей

учебной

деятельности;

Вернёмся к девизу нашего занятия. «Лучший способ

изучить что-либо - это открыть самому».

Кто считает, что самостоятельное открытие форму-

лы помогло нам ее изучить?

Кто считает, что научился ее применять при разло-

жении многочлена на множители?

Кто считает, что научился ее применять при бы-

стром счете?

Предлагаю выразить своё отношение к полученной

информации с помощью соответствующего смайли-

ка:

Спасибо за урок!

Анализируют, выбирают

соответствующую своим

ощущениям карточку,

высказывают своё мнение

(по желанию).

Оценивают свою работу в

оценочных листах выбрав со-

ответствующий смайлик

Раздаточный материал к уроку математики.

ФИ учащегося: ___________________

« Карта урока»

1.

Разложите многочлен на множители

6m + 6n = а(в – 5) + с(в – 5)

m n –m p= 5а

2

+ 5ах + 7а +7х

5a b - 5ac= x

2

– 36

2.

Выполните практическую работу:

Выполните умножение многочленов, упростите выражение и постарайтесь найти закономерность между

данными выражениями и полученными результатами

(у+6х)

(6х-у)

3.

Вставьте пропущенные слова.

квадратов этих

выражений».

«Разность квадратов двух выражений равна _______________ разности этих выражений на их ____________».

4.

Разложить на множители:

а) 4b

4

– c

2

=

б) 81-25х² =

в) 1/9m² - 49/36n² =

5.

Выполнить умножение:

(х+ 2) (х – 3)

(а + 4) (а – 4)

(у +5) (у – 5)

(х – у)(х + у)

(а – b) (а+ b)

(2а-3)(2а+3)

«Произведение___________ двух выражений на ___________ этих же выражений равно___________

а) (4+2у) (4-2у) =

б) (5с-8b) (8b+5c) =

в) (x -

⁴

y ) (

⁵

x +

⁴

y ) =

⁵

г) (80-3) (80+ 3) =

д) 201*199 =

6.

Самостоятельная работа

I вариант.

II вариант.

Выполнить умножение

с использованием формулы

(a – b) (a + b) = a

2

- b

2

1) (a - 2) (a + 2)

2) (3b – 1) (3b +1)

3) (a + 2b) (a – 2b)

4) (4a – 5b) (4a + 5b)

5)(2a² + 3b

3

) (3b

3

- 2a²)

Разложить на множители с ис-

пользованием формулы

a

2

- b

2

= (a – b) (a + b)

1)

4x

2

- 9

2)

m

2

- a

2

3)

x

2

- 9 y

2

4)

25 - 36 a

2

5)

x²y² - 1

Выполнить умножение

с использованием формулы

(a – b) (a + b) = a

2

- b

2

1) ( b -3) (b + 3)

2) (2c – 1) (2c +1)

3) (x + 3y) (x – 3y)

4) (2a – 3b) (2a + 3b)

5)(3x² + 2y

3

) (2y

3

- 3x²)

Разложить на множители с

использованием формулы

a

2

- b

2

= (a – b) (a + b)

1)

9y² - 16

2)

c² - d²

3)

a² - 4 b²

4)

49 – 25x²

5)

a²b² - 9

Дополнительно: Разложить на множители:

1) 144a

4

c

2

x

2

- 225; 2) a

2 n

- 9; 3) (2a + 7b)

2

-

(3a – 5b)

2

Дополнительно: Разложить на множители:

1)100a

4

b

2

c

2

- 121; 2) x

2 n

- 4 ; 3) (3x + 1)

2

-

(4x + 3)

2

7.

Рефлексия:

А) На уроке мне было интересно я узнал новое и необычное

Б) Я не вынес из урока ничего интересного и полезного

В) Урок для меня прошёл абсолютно бесполезно, мне было скучно

Карточка

1.

Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) 4(х+1) (1-х);

б) (3a+b) (9

a

2

+

b

2

) (3a-b)

2. Найдите значение выражения:

а)

56

2

-

44

2

б) 9,8*10,2;

в)

14

3

1

*

13

3

2

3. Преобразуйте в произведение:

а)

(

х

+

у

)

2

-

а

2

;

б) 25-

¿

;

в)

9 х

2

−(

1

−

3 х

)

2

4. Решите уравнения:

а)

х

2

−

25

=

0

б)

9 х

2

−

16

=

0

в)

(

2 х

+

3

)

2

−

4

=

0

г)

(

3 х

−

1

)

2

=

25

д)

(

2 х

+

1

)

2

=(

3 х

−

2

)

2