МБОУ СОШ № 165

Учебно-методический материал

для подготовки урока по теме «Функция» в 10 классе

Составила:

учитель математики высшей

квалификационной категории

Прокопьева Татьяна Николаевна.

Новосибирск-2019

Понятие «функция» является ключевым в математике. От правильности понимания

данного понятия зависит понимание многих других вопросов, связанных с понятием

функции.

В

курсе

школьной

математики

с

понятием

«функция»

учащиеся

впервые

встречаются в 7 классе. Конечно, в этом возрасте нельзя детям предоставить строгое

математическое определение понятия «функция». Поэтому, изучая вопросы, связанные с

понятием функции, учащиеся привыкают представлять себе функцию, прежде всего как

формулу, как аналитическое выражение и вне этой связи, как правило, не умеют мыслить

о функциональной зависимости. Поэтому целесообразно в самом начале курса алгебры и

начал анализа 10-11 кл. остановить внимание учащихся на строгом математическом

определении понятия функции и способах её задания, тем более что уровень абстрактного

мышления детей этого возраста позволяет ввести это определение.

Кроме того, учащимся предстоит изучить ряд новых функций, понятие обратной

функции, непрерывной функции и др. И здесь просто необходимо иметь правильное

представление о функциональной зависимости.

Данный материал не претендует на методическую разработку урока, а является лишь

информацией, на основе которой учитель сам разработает урок, определит его содержание

и форму.

I. В основе определения функции лежит понятие соответствия между двумя

множествам чисел.

Понятие множества относится к числу неопределяемых математических понятий

(как, например, понятие «точка» в геометрии). Его можно разъяснить только на примерах:



Множество книг в библиотеке, множество учеников школы (класса). Это конечные

множества.



Множества точек данной окружности. Это бесконечное множество.



Множество решений уравнения. Может быть конечным, бесконечным, пустым

множеством.

Книги данной библиотеки, точки окружности и т.д. называются элементами данного

множества.

Между множествами можно устанавливать соответствия по какому-либо правилу.

Например, множеству всех целых положительных чисел можно поставить в соответствие

множество всех положительных чисел можно поставить в соответствие множество всех

положительных чётных чисел:

1

2

2

4

3

6

4

8

II. Типы соответствия между элементами двух множеств.

1. Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами X и Y: одному элементу

из множества X соответствует одно определённое значение из множества Y и наоборот:

одному элементу из множества Y

соответствует одно определённое значение из

множества X.

Пример взаимно-однозначного соответствия:

Любому действительному числу соответствует одна определённая точка числовой оси и

наоборот: любой точке числовой оси соответствует одно определённое число.

2.

3. Многозначное соответствие: одному элементу из множества Х соответствует несколько

определённых значений из Y.

Пример: y = ±√х. Здесь одному значению х соответствует два различных значения y. К

примеру, если х = 4, то y = 2 или y = -2.

Если каждому элементу из множества чисел Х поставлено в соответствие одно или

несколько определённых элементов из множества Y по какому-либо правилу, то элемент y

будет являться функцией по отношению к элементу х (или х – функция y).

Определение функции:

Величина y называется функцией переменной величины х, если каждому из тех значений,

которые может принимать

х

, соответствует одно или несколько определённых значений у.

Если каждому значению аргумента отвечает одно значение функции, то функция

называется однозначной. Если два или более – многозначной.

Тело брошено вертикально вверх, h – высота над землёй, t – время, протекшее с момента

бросания.

Величина h

есть функция аргумента t, т.к. в каждый момент полёта тело имеет

определённую высоту (причём, только одно значение высоты). Следовательно, функция

h(t)- однозначная. Но не взаимно-однозначная, т.к. в свою очередь t

есть функция

аргумента h, ибо каждой высоте, на которой тело может находиться, соответствует два

определённых значений t (одно при поднятии, другое – при спуске). Следовательно, t(h) –

двузначная функция.

Функция у = 2х является взаимно однозначной, т.к. каждому значению х соответствует

одно определённое значение у и наоборот: каждому значению у соответствует одно

значение х.

III. Способы задания функции.

Функциональная зависимость – это установленное соответствие между значениями

переменных х

и у. Обратимся к самому правилу соответствия между значениями

переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.

Правило это может быть весьма разнообразной природы, поскольку оно ничем не

ограничено.

При слове «функция» мы должны мыслить о соответствии между множеством значений

величины х и множеством значений величины у, не связывая это обязательно с какой-

нибудь формулой или одним аналитическим выражением.

Правило соответствия может выражаться при помощи одной формулы, нескольких

формул или словесной формулировкой и другими способами.

Приведём примеры:

1. Правило соответствия установлено графически.

Аналитически это соответствие записывается так:

-х при х < 0

у =

х при х ≥ 0

или у = |x|

Переход от графического задания функции к аналитическому не всегда сделать так

легко.

2. Правило соответствия установлено при помощи нескольких формул.

1 при x < -1

Это полноценная запись соответствия между

x + 2 при –1 ≤ x < 0

значениями х и значениями у, а, следовательно,

у =

1 при x = 0

полноценное задание одной единственной

-x + 2 при 0 < x ≤ 1

функции y = f(x).

1 при x > 1

График:

3. Соответствие задано словесно.

За значение величины у принимается всякий раз целая часть значения величины х.

График:

Эту функцию можно записать аналитически:

y

= E(x), придав символу Е смысл «целая часть

от х» или «антье от х». Слово «антье» происхо-

дит от французского слова entire, что означает

«целое».

В определении понятия функции не требуется, чтобы при изменении независимой

переменной функция обязательно изменялась. Важным лишь является то, чтобы каждому

рассматриваемому значению независимой переменной соответствовало определённое

значение функции. Поэтому, естественно считать при изменении аргумента, т.е.

являющуюся постоянной.

IV. Идея функциональной зависимости возникла на почве всеобщего принципа

причинной зависимости, которым прониклись естествознание и другие науки. Особенно в

17 и 18 веках. Однако между этим принципом и математической идеей функциональной

зависимости есть существенное различие. Принцип причинной зависимости предполагает

исчерпывающее перечисление действительных причин, проводящих к известному

следствию. Функциональная же зависимость, давая связь между величинами, не всегда

предполагает, что изменение одной из них есть фактическая причина изменения другой.

Например: Изменение является следствием многочисленных причин – изменений

силы ветра, интенсивности солнечной радиации, степени влажности воздуха и т.п.;

функциональная

же

зависимость

здесь

может

быть

установлена

просто

между

температурой и временем суток, хотя течение времени само по себе не является, конечно,

«причиной» изменения температуры.