Статья

«Формирование

творческой

активности

студентов

при

решении задачи суммирования рядов»

Автор

Воейкова

Екатерина

Владимировна,

преподаватель

математики ГПОУ ЯО Ярославский колледж индустрии питания

Существенной

частью

математической

подготовки

студентов

является развитие творческой активности в процессе решения задач.

Определим творческую активность

студентов

как

​

деятельность

личности,

обеспечивающую её включенность в процесс созидания нового,

предполагающий внутрисистемные и межсистемный перенос знаний и

умений в

новые

ситуации,

изменения

способа действия

при решении

учебных задач.

Возможности

для

развития

творческой

активности

студентов

продемонстрируем на

примере

реализации принципов

вариативности,

наглядности и трансформации междисциплинарных связей при решении

одной из задач математического анализа,

а именно:

будем искать сумму

ряда

+

+

+ … +

+ …

1

2!

2

3!

3

4!

n

(n+1)!

В

​

математическом анализе

эта

задача

решается

следующим

образом.

Построим последовательность частичных сумм,

учитывая,

что

общий член ряда имеет вид:

=

=

-

:

a

n

n

(n+1)!

1

n!

1

(n+1)!

=

=

=

;

S

1

a

1

1

2!

2

1

=

+

=

+

= (1-

) + (

-

)= 1 -

;

S

2

a

1

a

2

1

2!

2

3!

1

2!

1

2!

1

3!

1

3!

……………………;

=

+

+ … +

​

= (1-

) + (

-

) + … + (

-

)= 1 -

S

n

a

1

a

2

a

n

1

2!

1

2!

1

3!

1

n!

1

(n+1)!

;

1

(n+1)!

…………………….

Найдем предел этой последовательности:

​

=

(1 -

) = 1.

lim

n→∞

S

n

lim

n→∞

1

(n+1)!

Таким образом,

+

+

+ … +

+ … = 1.

1

2!

2

3!

3

4!

n

(n+1)!

Суммирование

рядов

таким способом затрудняется

подбором

формулы общего члена и формулы

​

n первых членов ряда, однако является

обязательным условием при изучении теории.

Рассмотрим

​

вероятностную интерпретацию решения примера.

Продемонстрируем эффективность

данного

подхода

при

вычислении

результата, полученного выше

Возьмём урну, в которой находится один белый шар и один чёрный.

Проведём следующий эксперимент: вынимаем из урны один шар; если он

окажется

белым,

то

испытание

закончено,

если

шар

черный,

то

возвращаем его в урну и добавляем один белый шар.

Соответствующее вероятностное дерево испытаний принимает вид:

Пусть

​

А

​

=

,

{изъять белый шар}

=

,

​

i

​

= 1, 2, . . .

A

i

{изъять белый шар при i

м испытании}

− о

Тогда

P

​

(

​

A

​

) = 1/2 + (1/2)(2/3) + (1/2)(1/3)(1/4)...(1/

​

n

​

)

​

n

​

/(

​

n

​

+1) + …

Учитывая, что

​

P

​

(

​

A

​

) = 1 -

​

P

​

(

), находим:

A

P

​

(

) =

(1/2)(1/3)(1/4)...(1/

​

n

​

)(1/(

​

n

​

+1))

​

​

=

= 0

A

lim

n→∞

lim

n→∞

1

(n+1)!

⇒

а, значит,

(A)

,

⇒

P

= 1 − 0 = 1

+

+

+ … +

+ … = 1.

1

2!

2

3!

3

4!

n

(n+1)!

Заметим,

что

такой подход стал возможным благодаря

счетной

аддитивности

вероятностной

меры.

Учитывая,

что

аналогом

этого

свойства

вероятности

в

элементарной

математики

является

свойство

площадей,

получим

геометрическую

интерпретацию

процесса

суммирования рядов.

Приведем

​

геометрическое решение

​

задачи.

Заполним единичный

квадрат

прямоугольниками,

пары сторон

которых лежат на сторонах квадрата, а их вершинами выбираем соседние

точки, удалённые от одной из сторон квадрата на расстояния

1/(2!), 1/(3!), 1/(4!), . . . , 1/(

​

n!

​

), 1/((

​

n

​

+1)!), . . .

S1 + S2 + S3 + . . . + Sn + . . . = 1;

(1-

) + (

-

) + (

-

) + … + (

-

) + . . . = 1, откуда

1

2!

1

2!

1

3!

1

3!

1

4!

1

n!

1

(n+1)!

находим

+

+

+ … +

+ … = 1.

1

2!

2

3!

3

4!

n

(n+1)!

При решении задач важно сформировать у студентов потребность

поиска новых решений. Имея возможность сравнения различных решений,

выбор

оптимального

из

них

для

данной

задачи,

студент

реализует

важнейший в

творческом процессе

человека

принцип вариативности.

Именно

выбор

варианта

решения

проблемы

интенсифицирует

мыслительную

деятельность

человека,

создает

условия

для

самостоятельных действий.

Изучив

возможности

использования

вероятностных

графов

и

геометрических интерпретаций для нахождения сумм числовых рядов,

студенты могут

научиться

переносить

полученные

знания

в

другие

разделы математики.

Например,

геометрические модели в арифметике

могут

быть

использованы для

вычисления

некоторых

классических

конечных сумм.

Результатами реализации предложенного подхода основанного на

принципах

вариативности

наглядности

и

трансформации

междисциплинарных

связей,

являются

активизация

познавательной

деятельности студентов,

что

создает

условия

для

повышения

уровня

математической подготовки,

а

также

обеспечение

связи школьного и

колледжного курсов математики.

Список литературы

1.

Алгебра.

9

класс:

учеб.

для

общеобразоват.

организаций/

[Ю.Н.Макарычев,

Н.Г.Миндюк,

К.И.Нешков,

С.Б.Суворова];

под

ред. С.А.Теляковского. - 21-е изд. - М.: Просвещение, 2014.

2.

Афанасьев

В.В

​

.

Введение

в

теорию вероятностей

с

помощью

графов//Математика:

Специальное

учебно-методическое

приложение к газете “Первое сентября”, 1999, №35.

3.

Гмурман,

В.

Е.

Теория​вероятностей​и​математическая​статистика​:

​​

​

​

​

​

​

​

учебник​для​прикладного​бакалавриата​/​В.

Е. Гмурман.

—​12-е​изд. —

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Москва​:​Издательство​Юрайт,​2014.​

4.

Гмурман,

В.

Е.

РУКОВОДСТВО​К

РЕШЕНИЮ​ЗАДАЧ​ПО​ТЕОРИИ

​

​

​

​

​

​

​

ВЕРОЯТНОСТЕЙ​И​МАТЕМАТИЧЕСКОЙ​СТАТИСТИКЕ.-

М.:

Высш.

школа,

​

​

​

​

​

​

​

1979.​

5.

Подготовка

учителя

математики:

Инновационные

подходы:

​

​

​

​

​

Учеб.пособие/​под​ред.​В.Д.Шадрикова.​-​М.:​Гардарики,2002.