ОБУЧЕНИЕ

ИНДУКТИВНЫМ И ДЕДУКТИВНЫМ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯМ

НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ

Суконщикова Валентина Ивановна,

учитель математики

КОГОАУ «Гимназия г. Уржума»

Непреходящая задача образования - воспитание культуры мышления - приобрела в

наше время особую актуальность. В современных условиях, когда объем необходимых

для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать главную ставку на

организацию понимания и запоминания информации. Важно развивать такие качества

личности, как самостоятельность, творчество, активность в получении знаний, что создает

хорошие перспективы для дальнейшего образования.

Важным и необходимым компонентом культуры мышления является логическая

грамотность, а формирование умений выполнять умозаключения - одна из важных задач

развития логического мышления учащихся. Ее решение должно осуществляться в

процессе преподавания всех предметов, но школьному курсу математики отводится

особое место в решении этой задачи. А Н.Колмогоров отмечал, что в деле ознакомления

школьников с началами логики “ответственность учителя математики особо велика, так

как речь идет не о математической, а об обычной общечеловеческой логике”.

Для нас привычным является обучение умозаключениям в школьном курсе

геометрии. С первых уроков появляются доказательства, которые представляют собой

цепочки дедуктивных умозаключений.

Придавая большое значение курсу геометрии в развитии логического мышления,

нельзя принижать роль курса алгебры в решении этой важной педагогической задачи, так

как обучение учащихся математическому доказательству на алгебраическом материале

имеет ряд своих достоинств. Вот некоторые из них:

1. На алгебраическом материале легче воспитывать потребность в доказательстве.

Чертеж в геометрии является для многих учащихся убедительным подтверждением

истинности математического предложения, и поэтому для них всякие логические

рассуждения кажутся излишними.

2. В школьном курсе алгебры доказательства более компактны, лаконичны. Они

короче и проще, чем геометрические. При помощи коротких, простых доказательств на

алгебраическом материале легче раскрыть учащимся сущность понятия логического

доказательства. Кроме того, овладение дедуктивными методами на алгебраическом

материале является хорошей пропедевтикой для проведения более сложных дедукций в

геометрии.

Но, к сожалению, на уроках алгебры возможности для развития логического

мышления учащихся зачастую реализуются не полностью, не уделяется должного

внимания обучению индуктивным и дедуктивным умозаключениям. Считается, что

главное в методике урока алгебры - это выполнение как можно большего числа

разнообразных упражнений. Большая часть времени на уроках расходуется на отработку

умений решать различные задания в ущерб развитию творческой активности при

организации познавательной деятельности учащихся, что не способствует развитию

логического мышления детей.

Рассматриваются два вида умозаключений: индуктивные и дедуктивные. Понятия

индукции и дедукции трактуются по-разному в разных справочных пособиях. Наиболее

приемлемыми для работы с детьми представляются следующие определения:

Дедукция - метод исследования или рассуждения, заключающийся в переходе от

более общих положений к менее общим, а индукция - способ рассуждения от частных

фактов, положений к общим выводам.

В

формировании

и

развитии

умений

выполнять

умозаключения

(под

умозаключениями понимают серию логически связанных высказываний, из которых

выводится новое знание) ведущая роль принадлежит обучению. Формирование этих

умений может осуществляться как при изложении теоретического материала, так и при

выполнении

упражнений.

Математические

упражнения

позволяют

осуществлять

целенаправленную и систематическую работу по формированию умения выполнять

индуктивные и дедуктивные умозаключения.

Следует отметить, что упражнения данного вида встречаются, и нередко, в

учебниках, учебных и методических пособиях по математике. Но эти упражнения не

систематизированы, т.е. задания, которые встречаются в действующих учебниках, не

формируют у учащихся представлений об индукции и дедукции как видах логического

мышления, так как не прослеживается четкой последовательности в предложенных

упражнениях.

Поэтому, прежде чем подбирать и использовать данные упражнения на уроках,

необходимо провести классификацию этих упражнений.

Можно выделить следующие основные пути проведения работы по формированию

умений выполнять индуктивные и дедуктивные умозаключения.

Формирование

умений

открывать

математические

закономерности

на

основании индуктивных умозаключений при решении задач.

В курсе алгебры учащиеся на каждом шагу встречаются с необходимостью замечать

закономерности, например: подмечать свойство корней квадратного уравнения, свойства

степени, найти формулу n-го члена данной последовательности. Поэтому так важно

организовать

целенаправленную

работу

по

формированию

умений

высказывать

предположения о существовании определенной закономерности. Необходимо приучать

школьников к выполнению трех этапов в этой работе:

•

наблюдение;

•

формулировка гипотезы, полученной в результате наблюдения;

•

проверка гипотезы.

В развитии таких умений не обязательно использовать упражнения только

математического характера. Особое место здесь занимают тестовые задания, которые

можно использовать на уроках математики в качестве психологической разминки.

Данные задания развивают умения наблюдать, сравнивать, обобщать, проводить

аналогии, делать выводы и обосновывать их. Они позволяют организовать на уроках

математики интересные деятельностные ситуации, способствующие лучшему усвоению

программного материала и, в целом, развитию логического мышления учащихся. В

основном используются три вида тестов.

1.

Анаграммы, или вербальные тесты. Математические анаграммы могут быть с

успехом использованы в процессе усвоения математической терминологии. С этой целью

на уроке могут быть предложены задания следующего типа.

Перед введением нового понятия “функция” (7-й класс) можно предложить

учащимся такое логическое задание:

-

Решить анаграммы и исключить лишнее слово:

ЧАДАЗА

МЕНПЕРНАЕЯ

ВАРУНИЕНЕ

ЦИЯКУНФ

Рассуждения могут быть следующими: исходные слова “задача”, “переменная”,

“уравнение”, “функция”. Лишнее слово “функция”. Сразу возникает вопрос: “Что такое

функция?”

При повторении, систематизации, обобщении знаний можно вводить задания,

предполагающие несколько вариантов ответов:

-

Решить анаграммы и исключить лишнее слово:

НОЕБОРД,

ЗАКОПАТЕЛЬ,

ЛОЕЦЕ,

ПЕНЬСТЕ

-

целое,

дробное,

степень,

показатель (тема “Степень”).

2.

Мир символико-графических логических тестов очень разнообразен и богат.

Прежде чем предлагать их учащимся для самостоятельного решения, необходимо

коллективно

рассмотреть

решение

одного

логического

теста

путем

проведения

эвристической беседы.

Задания данного типа в основном предназначаются для формирования умений и

навыков применения теоретического материала при решении задач, для повторения и

закрепления.

-

Вставьте недостающее число.

-

276 (15)

4140

-

28

(?)

1064

(5-й класс. “Деление натуральных чисел”)

- Выпишите пропущенную функцию.

y=log5

x

у=5

х

у=х

1 /2

?

1) К комбинированным логическим тестам относятся задания, содержащие как

вербальную версию, так и символико-графическую. Эти тесты осуществляют связь

математики с языковым развитием учащихся. Такие упражнения требуют не только

наблюдательности, но и умения устанавливать необычные связи между объектами.

Напиши пропущенное выражение:

12 -(3+4)>2x4-5 Д>В

3 х 5 - 28 : 4 < (16 + 5)

В целом логические тесты всех трех основных групп очень вариативны.

Как показывает практика, логические тесты с успехом могут быть использованы на

всех этапах обучения математике. Они являются эффективным способом формирования и

развития интереса учащихся к математике.

Развитию умений осуществлять индуктивные умозаключения способствуют задания

на развитие интуиции. Под интуицией понимают способность к догадке, “внутреннее

озарение”. Р.Г.Хазанкин отмечает, что учить мыслить интуитивно не менее важно, чем

учить мыслить логически. Интуиция проявляется, прежде всего, при переходе от

наблюдений к формулированию гипотезы, выражающей утверждение о наличии

некоторой

закономерности.

Большое

значение

в

развитии

умений

подмечать

закономерности, высказывать догадки отводится нестандартным задачам:

Возьмите любое трехзначное число. Умножьте его на 7, результат умножьте на 11, а

новый результат на 13.

Сравните полученное число с исходным, опишите обнаруженное явление и

объясните его причину.

Формирование

критического

отношения

к

индуктивному

заключению

и

потребность в дедуктивных умозаключениях.

Индуктивные умозаключения в школьном курсе математики имеют большое

значение, формируют способности самостоятельно приходить к выводам и обобщениям.

Учащиеся должны понимать, что не любой вывод, обобщение, сделанные при помощи

индукции, будут истинными, можно получить и неправильный результат. Необходимо

воспитывать у учащихся критическое отношение к индуктивному умозаключению. Для

решения данной задачи можно предложить следующие виды упражнений:

1) Сравнение двух индуктивных предложений, одно из которых истинно, а другое

ложно.

- Рассмотрите примеры:

1 + 2 + 3=6;

3+4 + 5= 12;

11 + 12+13 = 36.

Можно ли утверждать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел

делится на 3?

- Вычислите значение выражения:

Р (х) = х

2

+ 6х + 12 при х = 0; 1; 2; 3.

Можно ли утверждать, что значение данного выражения всегда положительно?

2) Задания, в которых индуктивные заключения, полученные на основе интуиции,

могут быть как истинными, так и ложными.

3) Упражнения, показывающие различие между индуктивными и дедуктивными

умозаключениями.

- Можно ли доказать методом подстановки всех возможных значений а, что что равенство

а*0 = а * а является тождеством на множестве натуральных чисел?

Данный тип упражнений способствует созданию у учащихся прочного убеждения в том,

что индуктивное заключение может быть как истинным, так и ложным, что аналогия не

является доказательством. Учащиеся должны понять, чтобы убедиться в истинности

высказываний, необходимо обосновать их с помощью других предложений, истинность

которых была установлена ранее. Ложность высказываний достаточно обосновать с

помощью контрпримера.

Формирование умений выполнять отдельные виды дедуктивных умозаключений.

1)

Задания, в которых на основании индуктивного умозаключения выдвигается

гипотеза, а с помощью построения цепочки дедуктивных умозаключений

устанавливается её истина.

- Известно, что функции f и g на промежутке Х. Какими являются по монотонности

функции f+g, f*g, -g, -f.

2) Задания на доказательство.

Любое доказательство является рассуждением, которое устанавливает истинность

какого-либо предложения как логического следствия из других предложений. Учащиеся

учатся рассуждать как в процессе проведения доказательств теорем, так и при

выполнении упражнений на доказательство.

- Числа а и b дают одинаковый остаток при делении на х. Доказать, что разность (а -

b) делится на х.

3)Задачи на применение метода математической индукции.

Изучение темы “Метод математической индукции” исключен из программы

основной школы, но данный метод, как никакой другой, показывает взаимосвязь

индуктивных и дедуктивных умозаключений. Поэтому следует в ознакомительном

порядке на уроке (или более широко на факультативном курсе) показать учащимся сам

метод и его применение при решении задач, например:

- Доказать, используя метод математической индукции, утверждение: n

3

+3n

2

+2n

делится на 6 при любых значениях n.

Формирование умений отличать правильные умозаключения от неправильных,

находить логические ошибки в рассуждениях.

Учащиеся зачастую допускают логические ошибки в умозаключениях и рассуждают

по схемам, не гарантирующим истинность заключения.

В настоящее время многие математики-методисты считают, что на ошибках надо

обучать, ошибки надо показывать, не дожидаясь, пока дети их допустят.

1.

Задания, содержащие логические ошибки.

2. Софизмы.

В обучении учащихся умозаключениям определенную роль играют софизмы,

вызывающие у школьников интерес и воспитывающие у них потребность в обосновании

математических

предложений.

Софизмы необходимо использовать не

только

на

внеклассных занятиях, но и на уроках.

Доказывая ученикам, что 2x2=5, мы решаем не только обучающую задачу, но и

создаем хороший мотивационный фон для обучения.

Опыт работы показал, что использование на уроках данной системы упражнений

позволяет формировать у учащихся умение выполнять дедуктивные и индуктивные

умозаключения, способствует овладению методами логических рассуждений. Учащиеся

более уверены в своих силах, не боятся сложных заданий, понимают, что без поиска

решения невозможно добиться хороших результатов, что способствует активизации

познавательной деятельности учащихся.