Матрицы

Метод Гаусса

и Крамера

Подготовили:

Орехов Егор

Кобзев Максим

Руководитель:

Анисимова Н.Н.

учитель

математики

Содержание

•

Что такое матрица?

•

Карл Фридих Гаусс

•

Метод Гаусса

•

Габриэль Крамер

•

Метод Крамера

•

Вывод

•

Использованные источники информации

Матрица

Определение

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n –

столбцов, вида:

называется матрицей размера m



n

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

Положение элемента а

i j

в матрице характеризуются двойным индексом:

первый i – номер строки;

второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:





































mn

mj

m

m

in

ij

i

i

n

j

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a























































































2

1

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11





,

1

;

,

1

;

)

(

n

j

m

i

a

A

ij







Иоганн Карл Фридрих Гаусс

(30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

Биография

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец —

садовником, каменщиком, смотрителем каналов в

герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте

мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он

умел читать и писать. Согласно легенде, школьный

учитель математики, чтобы занять детей на долгое

время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до

100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с

противоположных концов одинаковы: 1+100=101,

2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат

50х101=5050 .

После 1801 года Гаусс включил в круг своих

интересов естественные науки. Катализатором

послужило открытие малой планеты Церера ,вскоре

после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс

проделал (за несколько часов) сложнейшие

вычисления по новому, открытому им же методу, и

указал место, где искать беглянку; там она, к

общему восторгу, и была вскоре обнаружена.

Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных

алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения

переменных, когда с помощью элементарных преобразований система

уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного)

вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру)

переменных, находятся все остальные переменные.

Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

x

1

, x

2

, …, x

n

– неизвестные.

a

i j

- коэффициенты при неизвестных.

b

i

- свободные члены (или правые части)







































n

n

n

m

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

...

.......

..........

..........

..........

..........

...

...

Типы уравнений

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет

решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное

решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и

то же множество решений.

Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:

1.

перемена местами двух любых уравнений;

2.

умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от

нуля;

3.

прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей

другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с

тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:

Дана система:

1-ый шаг метода Гаусса

На первом шаге исключим неизвестное х

1

из всех уравнений системы (1), кроме

первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое

уравнение системы (1) на а

11

. Получим уравнение:

где

Исключим х

1

из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них

уравнение (2), умноженное на коэффициент при х

1

(соответственно а

21

и а

31

).

Система примет вид:

Верхний индекс

(1)

указывает, что речь идет о коэффициентах первой

преобразованной системы.





























3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

(1)

11

1

)

1

(

1

11

1

)

1

(

1

;

3

,

2

,

1

;

a

b

b

j

a

a

a

j

j







(2)

(3)

)

1

(

1

3

)

1

(

13

2

)

1

(

12

1

b

x

a

x

a

x







)

1

(

3

3

)

1

(

33

2

)

1

(

32

)

1

(

2

3

)

1

(

23

2

)

1

(

22

)

1

(

1

3

)

1

(

13

2

)

1

(

12

1

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x















2-ой шаг метода Гаусса

На втором шаге исключим неизвестное х

2

из третьего уравнения системы (3).

Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него

второе уравнение системы (3), получим уравнение:

где

Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на

Получим уравнение:

Предполагая, что находим

)

2

(

2

3

)

2

(

23

2

b

x

a

x





(4)

)

1

(

22

)

1

(

2

)

2

(

2

)

1

(

22

)

1

(

23

)

2

(

23

;

a

b

b

a

a

a





.

)

1

(

33

a

)

2

(

3

3

)

2

(

33

b

x

a





,

0

)

2

(

33



a

3

3

)

2

(

33

)

2

(

3

3

b

a

b

x





В результате преобразований система приняла вид:

Система вида (5) называется треугольной.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым

ходом метода Гаусса.

Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом

метода Гаусса.

Для этого найденное значение х

3

подставляют во второе уравнение системы (5) и

находят х

2

. Затем х

2

и х

3

подставляют в первое уравнение и находят х

1

.























)

3

(

3

3

)

2

(

2

3

)

2

(

23

2

)

1

(

1

3

)

1

(

13

2

)

1

(

12

1

b

x

b

x

a

x

b

x

a

x

a

x

(5)

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое

уравнение вида 0 = b, где b



0, то это означает, что система несовместна и

решений не имеет.

В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса,

составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п

неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому

виду.

Треугольная система имеет вид:

Такая система имеет единственное

решение, которое находится в

результате проведения обратного хода метода Гаусса.

Ступенчатая система имеет вид:

Такая система имеет бесчисленное

множество решений.































n

n

n

n

n

n

d

x

d

x

a

x

d

x

a

x

c

x

......

..........

...

...

2

2

2

1

1

2

12

1



































k

n

n

k

k

n

n

n

n

d

x

c

x

d

x

c

x

d

x

c

x

c

x

...

.

..........

..........

...

...

2

2

2

1

1

2

12

1

Рассмотрим на примере

1.Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса

2.Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a

21

=1, поэтому

домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a

31

=3

3.Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего,

умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x

2

)

Тогда

x

3

=-42/(-14)=3;

x

2

=8-2x3=2

x

1

=8-0,5x2-2x3=1

Метод Крамера

Метод Крамера—способ решения квадратных

систем линейных алгебраических уравнений с

ненулевым определителем основной матрицы

(причём для таких уравнений решение существует и

единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751

году.

Габриэль Крамер

(31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

Биография

Крамер родился в семье франкоязычного врача.

В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем

возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на

вакантную должность преподавателя на

кафедре философии Женевского университета.

1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе,

заодно перенимая опыт у ведущих математиков

— Иоганна Бернулли и Эйлера,Галлея и де

Муавра, Мопертюи и Клеро.

В свободное от преподавания время Крамер

пишет многочисленные статьи на самые разные

темы: геометрия, история математики,

философия, приложения теории вероятностей.

1751: Крамер получает серьёзную травму после

дорожного инцидента с каретой. Доктор

рекомендует ему отдохнуть на французском

курорте, но там его состояние ухудшается, и 4

января 1752 года Крамер умирает.

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у

которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

a

11

x

1

+a

12

x

2

+…+a

1n

x

n

=b

1

a

21

x

1

+a

22

x

2

+…+a

2n

x

n

=b

2

…

…

a

n1

x

1

+a

n2

x

2

+…+a

nn

x

n

=b

n

Теорема. Cистема

Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

определитель матрицы этой системы отличен от нуля:

a

11

a

12

… a

1n

a

21

a

22

… a

2n

…

…

a

n1

a

n2

… a

nn

≠ 0

В этом случае решение можно вычислить по формул

е

Крамера

Для получения значения x

k

в числитель ставится

определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца

на столбец правых частей

•

Пример. Решить систему уравнений :

Решение.

Найдите оставшиеся компоненты

решения.

•

Формулы Крамера не представляют практического значения в случае

систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения

конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку

они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время

как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного

определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение

формул Крамера заключается в том, что они дают явное

представление решения системы через ее коэффициенты. Например,

с их помощью легко может быть доказан результат

•

Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A

является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при

условии, что det A не равно 0 .

Найдите оставшиеся компоненты

решения.

•

Кроме того, формулы Крамера начинают

конкурировать по вычислительной эффективности с

методом Гаусса в случае систем, зависящих от

параметра.

•

зависящей от параметра , определить предел

отношения компонент решения:

Решение.

•

В этом примере определитель матрицы

системы равен . По теореме Крамера

система совместна при . Для случая

применением метода Гаусса убеждаемся,

что система несовместна. Тем не менее,

указанный предел существует. Формулы

Крамера дают значения компонент решения

в виде

и, хотя при

каждая из них имеет бесконечный предел, их

отношение стремится к пределу конечному.

Ответ.

Приведенный пример поясняет также каким образом система

линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится

несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому

значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя

бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».