Автор: Лозовский Александр Валерьевич
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: Аграрно-экономический колледж ГОУ "ПГУ им.Т.Г.Шевченко"
Населённый пункт: Приднестровская Молдавская Республика, г. Бендеры, с. Гиска
Наименование материала: методическая разработка
Тема: "Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине ЕН 01."Математика" для студентов заочного отделения по специальности 5.38.02.01 "Экономика и бухгалтерский учет"
Раздел: среднее профессиональное
Аграрно-экономический колледж ГОУ «ПГУ им. Т.Г. Шевченко»
Кафедра общеобразовательных дисциплин
Методические указания
для выполнения контрольной работы
по дисциплине
ЕН 01. «Математика»
для студентов заочного отделения
по специальности 5.38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет»
Преподаватель математики:
Лозовский Александр Валерьевич
2020г
Теоретическая часть
Решение систем уравнений методом Крамера.
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных
уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных
уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не
равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю,
то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем
линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы и обозначается
∆
(дельта).
∆
=
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
Определители
∆
x
1
и ∆
x
2
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных
свободными членами:
;
.
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
.
Найти значения
и
возможно только при условии, если
.
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера: Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных
уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению
определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель,
полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом
неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных
уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
.
2
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы :
Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число, которое
обозначается следующим образом:
∆
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
и вычисляется по правилу:
∆
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
=
a
11
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
a
12
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
a
13
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
которое называется разложением определителя 3 порядка по элементам первой строки.
Существует ещё несколько методов вычисления определителей 3 порядка, с которыми вы
можете ознакомиться самостоятельно, изучив рекомендуемую литературу.
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
∆
=
|
2
3
1
3
−
1
2
1
4
−
1
|
=
2
|
−
1
2
4
−
1
|
−
3
|
3
2
1
−
1
|
+
1
|
3
−
1
1
4
|
=
2
∗
(
−
7
)
−
3
∗
(
−
5
)
+
13
=¿
3
¿−
14
+
15
+
13
=
14 ≠ 0
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем
определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют
какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю!
Таков следующий пример.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение: Находим определитель системы
∆
=
|
1
1
1
2
−
1
−
6
3
−
2
0
|
=
1
|
−
1
−
6
−
2
0
|
−
1
|
2
−
6
3
0
|
+
1
|
2
−
1
3
−
2
|
=−
31 ≠0
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите
ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны
4
нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой.
Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных.
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы - (2; -1; 1).
Предел числовой последовательности и функции
Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если для
любого
0 найдётся такое число
0, что из неравенства
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
следует
неравенство
|
f
(
x
)−
A
|
<
ε
.
Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке
а, если для любого
ε
>
0
найдётся такое число
δ
>
0
, что из неравенства
a
<
x
<
a
+
δ
(
a
−
δ
<
x
<
a
)
следует неравенство
|
f
(
x
)−
A
|
<
ε
.
Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке а используют
следующую символику:
lim
х
→
а
+
0
f
(
x
)=
B
(
lim
х
→
а
−
0
f
(
x
)=
B
)
.
Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке
x
=
a
существовал
предел функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между
собой оба односторонних предела
5
lim
x
→
a
−
0
f
(
x
)=
lim
x
→
a
+
0
f
(
x
)
.
Достаточно распространенными в курсе математики являются последовательности,
то есть функции
y
=
f
(
n
)
, заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы
подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает только значения из множества
натуральных чисел, его обозначают не х, а n. Для последовательностей f(n) достаточно
часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании
аргумента n (при
n
→∞
).
Определение 3. Число В называется пределом последовательности f(n), если для
произвольного
ε
>
0
существует такое число
M
>
0
, что для всех
n
>
M
выполняется неравенство
|
f
(
n
)−
B
|
<
ε
.
При вычислении пределов обычно используют не определение предела, а
теоремы о пределах и приёмы, которые мы обобщим, оформив результат в форме
таблицы.
Практическое вычисление пределов
Вычисление предела функции
lim
x
→
a
f
(
x
)
Основные этапы
Пример
1.Пользуясь непрерывностью
функции
f(x),
пробуем
подставить значение x = а в
функцию f(x)
lim
x
→
2
9
−
x
2
x
−
1
=
9
−
4
2
−
1
=
5
2.Если
вычисляется
предел
при
х
и
имеется
неопределенность
типа
(
∞
∞
)
,
то
пробуем
в
числителе
и
знаменателе
вынести
за
скобки
переменную
в
наивысшей
степени
(или числитель и
знаменатель
делим
на
переменную
в
наивысшей
степени)
lim
x
→∞
x
3
−
2 x
+
1
4 x
4
−
x
2
+
3 x
−
7
=
¿
lim
x
→∞
x
4
(
1
x
−
2
x
3
+
1
x
4
)
x
4
(
4
−
1
x
2
+
3
x
3
−
7
x
4
)
=
0
−
0
+
0
4
−
0
+
0
−
0
=
0
6
lim
x
→∞
x
−
√
9 x
2
+
2 x
x
2
−
3 x
+
1
=
lim
x
→∞
x
2
(
1
x
−
√
9
+
2
x
)
x
2
(
1
−
3
x
+
1
x
2
)
=
0
−
√
9
+
0
1
−
0
+
0
=−
3
3.
Если
в
результате
подстановки
х=а
получили
выражение типа
(
0
0
)
, то:
а)
пробуем
числитель
и
знаменатель
разложить
на
множители
lim
x
→
3
x
2
−
9
x
2
−
5 x
+
6
=
(
0
0
)
=
lim
x
→
3
(
x
−
3
) (
x
+
3
)
(
x
−
3
) (
x
−
2
)
=
=
lim
x
→
3
x
+
3
x
−
2
=
3
+
3
3
−
2
=
6
б)
если
в
числитель
или
знаменатель
входят
выражения с квадратным или
кубическим
корнями,
то
умножаем
числитель
и
знаменатель
на
соответствующие выражения,
чтобы избавиться от заданных
корней (иногда вводят новую
переменную)
1 способ
lim
x
→
4
x
2
−
16
√
x
−
2
=
(
0
0
)
=
lim
x
→
4
(
x
2
−
16
)
(
√
x
+
2
)
(
√
x
−
2
) (
√
x
+
2
)
=
¿
lim
x
→
4
(
x
−
4
) (
x
+
4
)
(
√
x
+
2
)
(
x
−
4
)
=
lim
x
→
4
(
x
+
4
)
(
√
x
+
2
)
=
32
2 способ
Обозначим
√
x
=
t
. Тогда
x
=
t
2
. При x
,
t
.
Тогда
lim
x
→
4
x
2
−
16
√
x
−
2
=
lim
t
→
2
t
4
−
16
t
−
2
=
lim
t
→
2
(
t
2
−
4
) (
t
2
+
4
)
t
−
2
=
¿
lim
t
→
2
(
t
−
2
) (
t
+
2
)
(
t
2
+
4
)
t
−
2
=
lim
t
→
2
(
t
+
2
)
(
t
2
+
4
)
=
32
в) если под знаком предела
стоят тригонометрические или
обратные тригонометрические
функции, то такие пределы
приводятся к 1-му
замечательному пределу
lim
x
→
0
sin 5 x
⋅
cos 2 x
⋅
arctg 3 x
tg7 x
⋅
arcsin 4 x
=
(
0
0
)
=
¿
lim
x
→
0
(
sin 5 x
5 x
)
⋅
5 x
⋅
cos 2 x
⋅
(
arctg 3 x
3 x
)
⋅
3 x
(
tg7 x
7 x
)
⋅
7 x
⋅
(
argsin 4 x
4 x
)
⋅
4 x
Сократив числитель и знаменатель на переменные, которые
7
lim
x
→
0
sin x
x
=
1,
или к его вариациям
lim
x
→
0
tgx
x
=
1 ;
lim
x
→
0
arcsin x
x
=
1;
lim
x
→
0
arctgx
x
=
1.
стоят за скобками, учитывая, что
lim
x
→
0
cos2 x
=
1
, и
учитывая первый замечательный предел и его вариации,
получаем, что искомый предел равен:
1
⋅
5
⋅
1
⋅
1
⋅
3
1
⋅
7
⋅
1
⋅
4
=
15
28
.
Производная сложной функции
Рассмотрим некоторую сложную функцию
y
=
f
[
ϕ
(
x
) ]
.
В этой цепи функциональных зависимостей
y
=
f
(
z
)
и
z
=
ϕ
(
x
)
аргумент
х является последним и поэтому его называют независимой переменной. Таким образом,
понятие аргумента и независимой переменной следует различать. Например, пусть
y
=
√
z
и
z
=
cos x
. Здесь z есть аргумент функции y, но z, не будет независимой
переменой. В результате, производная сложной
функции
y
=
f
[
ϕ
(
z
) ]
равна
производной данной функции y
по промежуточному аргументу z,
умноженной на
производную самого промежуточного аргумента z по независимой переменной х, т.е.
y
x
'
=
y
z
'
⋅
y
x
'
.
Пример 1. Найти производную от функции
y
=
ln
3
x
.
Решение.
Полагаем
z
=
ln x
,
тогда
y
=
z
3
.
Отсюда
y
z
'
=
3 z
2
=
3
⋅
ln
2
x
,
z
x
'
=
1
x
. Следовательно,
y
x
'
=
3 ln
2
x
⋅
1
x
.
При достаточном навыке промежуточную переменную z не пишут, вводя ее лишь
мысленно.
Пример 2. Найти производную от функции
y
=
sin
(
x
3
−
3 x
2
+
5
)
.
Решение.
y
'
=
cos
(
x
3
−
3 x
2
+
5
)⋅(
x
3
−
3 x
2
+
5
)
'
=
¿ (
3 x
2
−
6 x
)
cos
(
x
3
−
3 x
2
+
5
)=
3 x
(
x
−
2
)
cos
(
x
3
−
3 x
2
+
5
)
.
Пример 3. Найти производную от функции
y
=
e
√
x
2
+
x
−
1
.
Решение.
8
y
'
=
e
√
x
2
+
x
−
1
⋅
(
√
x
2
+
x
−
1
)
′
=
e
√
x
2
+
x
−
1
2
√
x
2
+
x
−
1
¿(
x
2
+
x
−
1
)
'
=
=
(
2 x
+
1
)⋅
e
√
x
2
+
x
−
1
2
√
x
2
+
x
−
1
.
Рекомендуемая литература для самостоятельного изучения:
1.
Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике».
2.
Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики».
Практическая часть
Вариант 1
Решить систему уравнений:
1.1
{
2x-y-2z
=−
1
2y
+
z
=
3
-2x-2y
+
2z
=−
2
1.2
{
2x
+
y-3z
=
7
2x
+
3y
+
z
=
1
3x
+
2y
+
z
=
6
Вычислить предел:
1.3
lim
x→ ∞
x
3
−
2 x
+
6
3 x
3
+
x
2
−
26
1.4
lim
x →3
x
−
3
x
2
−
9
Найти производную функции:
1.5
y
=
sin
(
x
2
+
√
1
x
)
Вариант 2
Решить систему уравнений:
9
2.1
{
3x
+
y-3z
=
8
3y-z
=
7
3x-y-3z
=
4
2.2
{
4x
+
y
+
4z
=−
3
x
+
y
+
2z
=−
4
2x-y
+
2z
=
3
Вычислить предел:
2.3
lim
x→ ∞
4 x
3
+
x
−
65
2 x
3
+
3 x
2
−
2
2.4
lim
x →2
x
−
2
x
2
−
4
Найти производную функции:
2.5
y
=
cos
(
x
−
2
+
√
x
3
)
Вариант 3
Решить систему уравнений:
3.1
{
2x
+
3y
+
4z
=
4
4x
+
9y
+
16z
=
6
8x
+
27y
+
64z
=−
2
3.2
{
3x-y
+
z
=
12
x
+
2y
+
4z
=
6
5x
+
y
+
2z
=
3
Вычислить предел:
3.3
lim
x→ ∞
4 x
3
+
2 x
−
5
x
4
+
x
2
−
9
3.4
lim
x →4
x
−
4
x
2
−
16
Найти производную функции:
3.5
y
=
sin
(
2 x
3
+
√
x
3
)
Вариант 4
Решить систему уравнений:
10
4.1
{
x-y
+
z
=
1
x
+
y-z
=
3
x-y-z
=
1
4.2
{
2x-y
+
3z
=−
4
x
+
3y-z
=
11
x-2y
+
2z
=−
7
Вычислить предел:
4.3
lim
x→ ∞
4 x
2
+
2 x
−
8
x
2
+
x
−
16
4.4
lim
x →5
x
−
5
x
2
−
25
Найти производную функции:
4.5
y
=
sin
(
1
x
+
√
x
)
Вариант 5
Решить систему уравнений:
5.1
{
3x
+
4y
+
5z
=
2
9x
+
16y
+
25z
=
2
27x
+
64y
+
125z
=−
10
5.2
{
2x-y-z
=−
9
3x
+
4y-2z
=
6
3x-2y
+
4z
=
12
Вычислить предел:
5.3
lim
x→ ∞
x
2
−
54 x
+
45
x
3
+
12 x
2
−
2
5.4
lim
x→ 10
x
−
10
x
2
−
100
Найти производную функции:
5.5
y
=
sin
(
x
2
+
√
1
x
)
Вариант 6
11
Решить систему уравнений:
6.1
{
x
+
y-z
=
4
y-z
=−
1
-x
+
y
+
z
=
8
6.2
{
3x
+
2y
+
z
=
7
x
+
3y
+
2z
=
6
x
+
2y
+
3z
=
1
Вычислить предел:
6.3
lim
x→ ∞
4 x
3
+
x
−
65
2 x
3
+
3 x
2
−
2
6.4
lim
x →9
x
−
9
x
2
−
81
Найти производную функции:
6.5
y
=
cos
(
x
−
2
+
√
x
3
)
Вариант 7
Решить систему уравнений:
7.1
{
2x
+
y-2z
=
2
y-z
=
1
-x
+
y
+
2z
=
3
7.2
{
2x
+
y
+
z
=−
4
2x
+
2y-z
=
3
4x
+
4y
+
z
=−
3
Вычислить предел:
7.3
lim
x→ ∞
x
3
+
x
−
52
x
4
+
x
2
+
9
7.4
lim
x →8
x
−
8
x
2
−
64
Найти производную функции:
7.5
y
=
sin
(
2 x
3
+
√
x
3
)
Вариант 8
12
Решить систему уравнений:
8.1
{
10x
+
y
+
10z
=
10
-x
+
10y
+
z
=−
3
10x-y
+
10z
=
10
8.2
{
4x
+
y
+
2z
=
6
x
+
3y-z
=
12
2x
+
5y
+
z
=
3
Вычислить предел:
8.3
lim
x→ ∞
4 x
2
+
2 x
+
6
2 x
2
+
x
−
3
8.4
lim
x →7
x
−
7
x
2
−
49
Найти производную функции:
8.5
y
=
sin
(
1
x
+
√
x
)
Вариант 9
Решить систему уравнений:
9.1
{
11x
+
y
+
11z
=
12
−
x
+
11 y
+
z
=
12
11x-y
+
11z
=
10
9.2
{
x-y-3z
=−
11
3x
+
2y-z
=−
4
2x
+
y-2z
=−
7
Вычислить предел:
9.3
lim
x→ ∞
x
3
−
2 x
+
6
x
3
+
x
2
−
6
9.4
lim
x →6
x
−
6
x
2
−
36
Найти производную функции:
9.5
y
=
sin
(
x
2
+
√
1
x
)
Вариант 10
13
Решить систему уравнений:
10.1
{
7x
+
y-7z
=−
5
7y-z
=
13
-7x
+
y-7z
=−
5
10.2
{
4x
+
3y-2z
=
12
x-2y
+
z
=
9
2x-3y-4z
=−
6
Вычислить предел:
10.3
lim
x→ ∞
4 x
3
+
5 x
−
6
6 x
3
+
31 x
2
−
20
10.4
lim
x→ 11
x
−
11
x
2
−
121
Найти производную функции:
10.5
y
=
cos
(
x
−
2
+
√
x
3
)
14