Автор: Асланбеков Леонтий Балатович
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ № 7
Населённый пункт: город Конаково,Тверская область
Наименование материала: рабочая программа элективного курса
Тема: "Решение неравенств"
Раздел: полное образование
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Учитель: Асланбеков Л.
Пояснительная записка
Предполагаемый
элективный
курс
является
предметно-ориентированным
и
предназначен
для
расширения
теоретических
и
практических
знаний
учащихся.
Без
данного
курса
ученики
не
смогут
успешно
сдать
экзамены.
В
элективном
курсе
представлены три важные темы курса математики, достаточно важные и трудные:
- иррациональные уравнения и системы уравнений
- иррациональные неравенства
- иррациональные уравнения и неравенства с параметрами
На первые две темы в школьном курсе отводится совсем немного часов, что не позволяет
учащимся чувствовать себя достаточно уверенными при решении данных задач. Третья
тема в школьном курсе не изучается. Однако иррациональные уравнения и неравенства
часто встречаются в вариантах работ ЕГЭ, поэтому для успешного выполнения данных
заданий требуются более глубокие знания в данной области.
Цель элективного курса - создание целостного представления о теме; развитие творческих
способностей
учащихся
в
математике,
ознакомление
учащихся
с
новыми
идеями
и
методами математики.
Задачи :
- обобщение, систематизация знаний по теме;
- расширение списка ключевых задач, разбор задач с нестандартным способом решения;
- развитие логического мышления, познавательных интересов;
-
привитие
учащимся
умений,
позволяющих
им
активно
включаться
в
творческую,
исследовательскую деятельность;
-
представление
учащимся
возможности
проанализировать
свои
способности
к
математической деятельности.
Методический инструментарий
Методы:
- объяснительно-иллюстративный
- частично-поисковый
- наглядно-практический
- самостоятельная работа
Средства:
- предметные: вспомогательные средства
- практические: составление алгоритма, письменные упражнения, тестирование
- интеллектуальные: анализ, сравнение, обобщение
- эмоциональные: интерес, удовлетворение
Формы обучения :
- групповая
- коллективная
- работа в парах
- выступление с докладом по результатам написания проектов по данной теме
Планируемые результаты
Данный
курс
представляется
особенно
актуальным
и
современным,
так
как
расширяет
и
систематизирует
знания
учащихся,
готовит
их
к
более
осмысленному
пониманию теоретических сведений. В результате прохождения курса учащиеся смогут:
- повысить уровень самостоятельности при работе с учебным материалом;
- обладать уверенностью в решении задач эвристического плана;
- самостоятельно конструировать задачи с последующей их презентацией;
- успешно сдать ЕГЭ;
- осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.
Содержание программы
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных
программных знаний. Программа содержит три основных блока, связанных с понятием
«иррациональности». Первый и второй блоки углубляют и систематизируют ранее
изученные знания, вводятся новые и оригинальные способы решения уравнений, систем,
неравенств: решение уравнений методом введения новой переменной, методом выделения
полного квадрата, методом сопряженного умножения, методом использования свойств
функций; решение неравенств расширенным методом интервалов, методом замены
переменной, способом умножения. Третий блок содержит задания повышенного уровня
сложности, так как рассматриваются уравнения и неравенства с параметрами. На изучение
трех блоков отводится 17 часов.
Тематическое планирование
№
Наименование разделов и тем
Количество
часов
Форма контроля
1
Актуализация знаний
1
С о с т а в л е н и е
о п о р н о г о
конспекта
2
Иррациональные уравнения
3
С е м и н а р ,
о б у ч а ю щ а я
самостоятельная работа
3
Иррациональные неравенства
3
Семинар, самоконтроль
4
Системы
и рра ц и он а льн ы х
уравнений и неравенств
3
Исследовательская
работа
в
группах, самоконтроль
5
Иррациональные
уравнения
и
неравенства с параметрами
6
Исследовательская
работа
в
группах, самоконтроль
6
Итоговые занятия
1
Презентация учебных проектов
итого
17ч.
Литература
1.
Вавилов
В.В.,
Мельников
И.И.
и
др.
Задачи
по
математике.
Уравнения
и
неравенства. «Наука», 1987г.
2.
Крамор
В.С.
повторяем
и
систематизируем
школьный
курс
алгебры
и
начал
анализа. Москва «Просвещение» 1990г.
3.
Симонов А.Я., Бакаев Д.С. и др. Система тренировочных задач и упражнений по
математике. Москва «Просвещение» 1991г.
4.
Сканави М.И. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы.
Учебное пособие 1994г. Москва. Высшая школа.
5.
Афанасьева Т.П., Немова Н.В. Профильное обучение: педагогическая система и
управление. Москва, 2004
Раздел 1
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение
обращается в верное равенство.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Если в уравнении неизвестная величина содержится под знаком корня, то такое уравнение
называется иррациональным.
Два уравнения
f
1
(
x
)
=
g
1
(
x
)
и
f
2
(
x
)
=
g
2
(
x
)
называются равносильными,
если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений.
Если n>0,n=2k+1, к-целое положительное, то уравнения
f
n
(
x
)
=
g
n
(
x
)
, f
(
x
)
=
g
(
x
)
равносильны.
Уравнение вида
2 k
√
f
(
x
)
=
g
(
x
)
, k
∈
Z
+
равносильно системе
f
(
x
)
=
g
2 k
(
x
)
g
(
x
)
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Уравнение вида
2 k
√
f
(
x
)
=
2 k
√
g
(
x
)
, k
∈
Z
+
равносильно системе
f
(
x
)
=
g
(
x
)
g
(
x
)
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Два
неравенства
f
1
(
x
)
<
g
1
(
x
)
, f
2
(
x
)
<
g
2
(
x
)
называются равносильными, если
совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений.
Неравенство вида
2 k
√
f
(
x
)
>
g
(
x
)
, k
∈
Z
+
равносильно системам
f
(
x
)
≥
0
g
(
x
)
<
0
¿
¿
g
(
x
)
≥
0
f
(
x
)
>
g
2 k
(
x
)
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Неравенство вида
2 k
√
f
(
x
)
<
g
(
x
)
, k
∈
Z
+
равносильно
f
(
x
)
≥
0
g
(
x
)
≥
0
f
(
x
)
<
g
2 k
(
x
)
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Неравенство вида
2 k
√
f
(
x
)
<
2 k
√
g
(
x
)
, k
∈
Z
+
равносильно
f
(
x
)
≥
0
f
(
x
)
<
g
(
x
)
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Иррациональные уравнения.
Метод введения новых переменных
Пример:
(
x
+
4
) (
x
+
1
)
−
3
√
x
2
+
5 x
+
2
=
6
x
2
+
5 x
+
4
−
3
√
x
2
+
5 x
+
2
=
6
x
2
+
5 x
+
2
−
3
√
x
2
+
5 x
+
2
−
4
=
0
√
x
2
+
5 x
+
2
=
t
≥
0
t
2
−
3 t
−
4
=
0
¿
¿
t
1
=−
1
<
0, t
2
=
4
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
+
5 x
+
2
=
16
x
2
+
5 x
−
14
=
0
x
1
=
2, x
2
=−
7
Ответ:
x
1
=
2, x
2
=−
7
Самостоятельно: 1)
3
10
√
x
2
−
3
+
5
√
x
2
−
3
=
4
ответ: х=-2,х=2
2)
√
2 x
2
−
3 x
+
10
+
x
2
−
1,5 x
=
2,5
ответ: х=0,5,х=1
Способ сопряженного умножения
Пример:
√
3 x
2
+
5 x
+
8
−
√
3 x
2
+
5 x
+
1
=
1
Умножим обе части уравнения на сопряженное левой части выражение
(
√
3 x
2
+
5 x
+
8
)
2
−
(
√
3 x
2
+
5 x
+
1
)
2
=
√
3 x
2
+
5 x
+
8
+
√
3 x
2
+
5 x
+
1
√
3 x
2
+
5 x
+
8
+
√
3 x
2
+
5 x
+
1
=
7
Сложим почленно полученное уравнение и данное, тогда
2
√
3 x
2
+
5 x
+
8
=
8
√
3 x
2
+
5 x
+
8
=
4
3 x
2
+
5 x
−
8
=
0
x
1
=−
2
2
3
, x
2
=
1
Ответ:
x
1
=−
2
2
3
, x
2
=
1
Самостоятельно:
1
)
√
2 x
2
−
7 x
+
4
+
√
2 x
2
−
7 x
+
1
=
3
2
)
√
7 x
2
+
3 x
+
5
−
√
7 x
2
−
2 x
+
1
=
2
3
)
√
4 x
2
+
7 x
+
3
−
√
4 x
2
+
6 x
+
6
=
3
−
x
ответ : х=3
Нестандартные способы решений
Пример:1)
√
x
−
3
+
√
3 x
+
5
=
√
3
−
x
+
√
6 x
−
4
В силу ОДЗ выражения х-3 и 3-х должны быть неотрицательны. Это возможно
только при х=3. При подстановке х=3 в обе части уравнения получим верное
равенство. Значит, х=3 корень уравнения.
2)
√
x
−
2
−
√
x
+
3
=
11
ОД З :
x
≥
2
При
таких
х
левая
часть
уравнения
отрицательна,
а
в
правой
части
стоит положительное число. Уравнение не имеет корней.
Уравнения с двойным корнем.
Пример:
√
x
+
3
−
4
√
x
−
1
+
√
x
+
8
−
6
√
x
−
1
=
1
√
x
−
1
−
4
√
x
−
1
+
4
+
√
x
−
1
−
6
√
x
−
1
+
9
=
1
t
=
√
x
−
1
≥
0
√
(
t
−
2
)
2
+
√
(
t
−
3
)
2
=
1
,
¿
|
t
−
2
|+|
t
−
3
|=
1
t
≥
0
¿
¿
1
)
0
≤
t
≤
2,
−
t
+
2
−
t
+
3
=
1
¿
0
≤
t
≤
2
t
=
2
, t
=
2
¿
2
)
¿
2
≤
t
≤
3
t
−
2
+
3
−
t
=
1
,
¿
2
≤
t
≤
3
t
∈
R
,2
≤
t
≤
3
¿
3
)
¿
t
≥
3
t
−
2
+
t
−
3
=
1
,
¿
t
≥
3
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
Общее решение:
2
≤
t
≤
3
2
≤
√
x
−
1
≤
3
4
≤
x
−
1
≤
9
5
≤
x
≤
10
Ответ:
5
≤
x
≤
10
Самостоятельно:
1
)
√
1
−
x
√
x
2
−
1
=
x
−
1
ответ: х=1,25
2
)
√
7
−
√
x
2
−
4 x
+
4
=
x
−
3
ответ: х=5
Решение уравнений с использованием свойств функций
Пример:
8
√
x
+
2
=−
2
−
3 x
Заметим, что х=-1 корень данного уравнения, но функция
y
=
8
√
x
+
2
возрастает на луче
[−
2 ;
+∞
,
)
,а функция у=-2-3х убывает на нем, поэтому
8
√
x
+
2
>
1
>−
2 x
−
3, x
>−
1
−
2
−
3 x
>
1
>
8
√
x
+
2, x
<−
1
И других решений данное уравнение не имеет.
Ответ: х=-1
Пример:
3
√
2 x
−
1
+
3
√
x
−
1
=
1
Непосредственной подстановкой в уравнение легко обнаружить, что
Х=1 является его корнем. Так как функция
3
√
x
возрастает на числовой
оси, то возрастают и функции
y
=
3
√
2 x
−
1 , y
=
3
√
x
−
1
.Следовательно,
функция
3
√
2 x
−
1
+
3
√
x
−
1
возрастает на всей числовой оси как сумма
возрастающих функций. Значит, график этой функции лишь один раз
может пересечь прямую у=1, то есть исходное уравнение может иметь
лишь один корень х=1.
Самостоятельно:
1
)
3
√
x
−
1
=
5
−
2 x
ответ: х=2
2
)
√
x
−
2
=
3
√
10
−
x
2
ответ: х=3
3
)
√
5 x
+
6
+
√
x
2
+
4 x
−
3
=
11
−
2 x
ответ: х=2
Системы уравнений.
Пример:
1
√
x
+
1
√
y
=
4
3
xy
=
9
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Замена
√
x
=
u
>
0,
√
y
=
v
>
0
1
u
+
1
v
=
4
3
u
2
v
2
=
9
u , v
>
0
,
¿
u
+
v
uv
=
4
3
uv
=
3
u , v
>
0
,
¿
u
+
v
=
4
uv
=
3
u , v
>
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
u
=
4
−
v ,
(
4
−
v
)
v
=
3, v
2
−
4 v
+
3
=
0, v
1
=
3, v
2
=
1
1) v=3, u=1 тогда х=1 , у=9
2) v=1, u=3 тогда х=9 , у=1
Ответ: (1;9) , (9;1)
Пример:
3
√
x
√
y
+
√
x
3
√
y
=
12
xy
=
64
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Замена
6
√
x
=
u
≥
0,
6
√
y
=
v
≥
0
u
2
v
3
+
u
3
v
2
=
12
u
6
v
6
=
64
u , v
≥
0
,
¿
u
2
v
2
(
v
+
u
)
=
12
uv
=
2
,
¿
u
+
v
=
3
uv
=
2
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
1)
v=2 , u=1 тогда х=1 , у=64
2)
v=1 , u=2 тогда х=64 , у=1
Ответ: (1;64) , (64;1)
Самостоятельно:
1
)
√
x
−
5
√
4
−
y
=
0
x
2
−
y
2
=
9
¿
¿
{
¿ ¿¿
ответ: (5;4) , (5;-4)
2
)
x
+
y
=
5
√
x
+
1
3
−
y
+
2
√
x
−
2
6
−
y
=
3
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
ответ: (3;2)
3
)
y
−
x
=
2
√
x
2
−
4 y
+
12
+
√
y
−
4
=
3
√
11
−
x
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
ответ: (3;5)
4
)
3
√
15
−
y
=
x
+
13
√
3 yx
−
2 y
2
=
x
−
2 y
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
ответ: (-1;-1)
5
)
√
x
3
+
1
=
√
y
3
+
3 y
2
+
3 y
+
2
√
x
2
−
4 xy
+
4 y
2
+
1
+
√
2 x
2
−
8 xy
+
8 y
2
+
4
=
3
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
ответ: (2;1)
Раздел2.
Иррациональные неравенства.
Пример:
1
)
1
−
√
1
−
8 x
2
2 x
<
1
ОДЗ:
1
−
8 x
2
≥
0
x
≠
0
,
¿
−
1
2
√
2
≤
x
≤
1
2
√
2
x
≠
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Пример2:
3
√
6
x
−
1
.
¿
3
√
3
x
+
1
+
7
x
+
2
¿
¿
Неравенство равносильно неравенству
6
x
−
1
;
¿
3
x
+
1
+
7
x
+
2
¿
¿
0;
¿
0;
⇔
4
(
x
+
5
4
)
⋅
(
x
−
5
)
(
x
+
1
)
⋅
(
x
+
2
)
⋅
(
x
−
1
)
¿
4 x
2
−
15 x
−
25
(
x
+
1
)
⋅
(
x
+
2
)
⋅
(
x
−
1
)
¿
¿
- + - + - +
____________________________________
-5 -
5
4
-1 1 5
Ответ:
(
−∞
;
−
5
)
∪
(
−
5
4
;
−
1
)
∪
(
1; 5
)
.
Пример 3:
(
x
−
1
)
√
x
2
−
x
−
2
≤
0
ОДЗ:
x
2
−
x
−
2
≥
0
x
≤−
1, x
≥
2
1)
(
x
−
1
)
√
x
2
−
x
−
2
=
0
Х-1=0 или
√
x
2
−
x
−
2
=
0
x
=−
1, x
=
2
Х=1 посторонний корень
2)
(
x
−
1
)
√
x
2
−
x
−
2
<
0
Так как
√
x
2
−
x
−
2
≥
0,
то разделим на
√
x
2
−
x
−
2
x
−
1
<
0
x
<
1
x
<
1
x
≤−
1, x
≥
2
¿
¿
¿
x
≤−
1
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
Ответ:
x
≤−
1, x
=
2
Пример 4:
2
√
x
2
+
3 x
>
9
−
2 x
−
√
x
−
√
x
+
3
ОДЗ:
x
2
+
3 x
≥
0
x
≥
0
x
+
3
≥
0
,
¿
x
≤−
3, x
≥
0
x
≥
0
x
≥−
3
, x
≥
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
2 x
+
2
√
x
2
+
3 x
>
9
−
(
√
x
+
√
x
+
3
)
2
√
x
(
√
x
+
√
x
+
3
)
>
9
−
(
√
x
+
√
x
+
3
)
t
=
√
x
+
√
x
+
3
>
0
t
2
=
x
+
2
√
x
2
+
3 x
+
x
+
3
=
2 x
+
2
√
x
2
+
3 x
+
3
2 x
+
2
√
x
2
+
3 x
=
t
2
−
3
t
2
−
3
>
9
−
t
t
>
0
,
¿
t
2
+
t
−
12
>
0
t
>
0
,
¿
t
<−
4, t
>
3
t
>
0
, t
>
3
¿
¿
√
x
+
√
x
+
3
>
3
¿
x
+
2
√
x
2
+
3 x
+
x
+
3
>
9
¿
2
√
x
2
+
3 x
>
6
−
2 x
{
¿ ¿ ¿
¿
1
)
3
−
x
≥
0, x
≤
3
x
2
+
3 x
>
9
−
6 x
+
x
2
9 x
>
9
x
>
1
x
≤
3
x
≥
0
x
>
1
,1
<
x
≤
3
¿
2
)
3
−
x
<
0, x
>
3
¿
¿
x
≥
0
x
>
3
, x
>
3
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Ответ: x>1
Пример 5:
2 x
2
+
√
x
5
+
3
√
x
3
−
4
√
x
<
8
−
6 x
ОДЗ:
x
≥
0
¿
x
≥
0
x
2
+
3 x
−
4
<
0
,0
≤
x
<
1
¿
2 x
2
+
√
x
5
+
3
√
x
3
−
4
√
x
−
8
+
6 x
<
0
(
2 x
2
+
√
x
5
)
+
(
3
√
x
3
+
6 x
)
−
(
4
√
x
+
8
)
<
0
x
2
(
2
+
√
x
)
+
3 x
(
√
x
+
2
)
−
4
(
√
x
+
2
)
<
0
(
2
+
√
x
)
(
x
2
+
3 x
−
4
)
<
0
2
+
√
x
>
0,
{
¿ ¿ ¿
Ответ:
0
≤
x
<
1
Решите иррациональные неравенства:
1).
√
2 x
+
5
√
8
−
x
2
;
2).
√
x
+
4
<
√
x
2
+
x
+
3;
3).
√
x
2
+
4 x
+
4
< x+6;
4).
√
2 x
2
−
3 x
−
5
< x-1;
5).
3
√
x
3
+
4 x
2
−
36
< x;
6).
√
x
2
+
x
−
2
> x;
7).
√
x
+
5
> x+3;
8).
√
x
2
+
5 x
+
7
< 3+x;
9).
√
x
5
+
x
2
−
4
> x;
10). (x
2
-9)
√
x
+
5
0
11). (4-x
2
)
√
3
−
x
0
Ответы к практической части:
1)
[−
5
2
; 1
)
;
7)
[
−
5 ;
−
1
]
;
2)
[−
4 ;
−
1
)∪[
1 ;
+∞)
;
8)
(
−∞
;
2
11
)
;
3)
(
−
4 ;
+∞
)
;
9)
(
−∞
;
−
2
)
∪
(
2;
+∞
)
;
4)
[
2,5 ; 3
]
;
10)
[
−
5 ;
−
3
]
∪[
3 ;
+∞)
;
5) (-3;3);
11)
(
−∞
;
−
2
)
∪
[
2; 3
]
.
6)
(
−∞
;
−
2
)
∪
(
2;
+∞
)
;
Раздел 3
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами
1-7. Решите уравнения:
1).
√
x
2
+
ax
−
2 a
= x + 1
2).
√
a
+
√
a
+
x
= x
3).
√
3 x
−
2
+
√
x
+
2
= a
4).
(
x
−
a
)
√
x
−
a
+(
x
−
b
)
√
x
−
b
√
x
−
a
+
√
x
−
b
= a – b, a > b
5). x +
√
a
+
√
x
= a
6).
√
7
−
x
+
√
x
−
3
= a
7).
√
3 x
+
2
+
√
3 x
+
2 a
= 4
№8. Сколько корней может иметь уравнение
√
х
−
а
(
x
2
−
(
1
+
2 a
2
)
x
+
2a
2
)
=
0
№9 -13 Решите неравенства
9).
√
a
2
−
x
2
> x+1, a
¿
0
10)
х +
√
a
−
x
> 0 , а >0
11)
√
a
+
x
+
√
a
−
x
>a
12)
1
√
x
−
2
-
1
√
x
+
2
¿
a
√
x
, а > 0
13)
√
a
2
−
x
2
>x+1 , a
¿
0
14) при каких значениях а множество решений неравенства
а +
√
x
2
+
ax
¿
x не пересекается с
[
−
1 ;0
]
Решение.
1)
√
x
2
+
ax
−
2 a
= х+1
x
+
1
≥
0
x
2
+
ax
−
2a
=
x
2
+
2 x
+
1
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
≥−
1
2 a
+
1
=
x
(
a
−
2
)
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Если а=2, то 0 х = 5 , нет решений.
Если а
¿
2
, то х =
2 a
+
1
a
−
2
2 a
+
1
a
−
2
¿−
1
2 a
+
1
+
a
−
2
a
−
2
¿
0
3 a
−
1
a
−
2
¿
0
, а
¿
1
3
и а > 2
Ответ при а
¿
1
3
и а >2 уравнение имеет решение х =
2 a
+
1
a
−
2
При
1
3
< a
¿
2
уравнение не имеет решений.
2)
√
a
+
√
a
+
x
= х
x
≥
0
x
2
−
a
=
√
a
+
x
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
≥
0
x
2
−
a
≥
0
a
+
x
=
x
4
−
2 x
2
a
+
a
2
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a
2
-a
(
2 x
2
+
1
)
+
x
4
-x = 0
D=
(
2 x
+
1
)
2
≥
0
a
1
= x
2
−
x
a
2
=
x
2
+
x
+
1
a
=
x
2
−
x
x
2
−
a
≥
0
x
≥
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
−
a
=
x
x
2
−
a
≥
0
x
≥
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
−
a
=
x
x
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
−
x
−
a
=
0
D=1+4a Если 1+4а < 0, то
есть
x
≥
0
a
+
√
a
+
x
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a < -
1
4
, то корней нет. Если а = -
1
4
, то х =
1
2
. Если а > -
1
4
, то
х
1,2
=
1
±
√
1
+
4 а
2
Проверим условие х
¿
0
.
1
−
√
1
+
4 a
2
≥
0
,
√
1
+
4 a
≤
1
, 1+ 4а
¿
1
, а
¿
0
. Таким образом , х
1
корень при
-
1
4
<a
¿
0
.
1
+
√
1
+
4 a
2
≥
0
,
√
1
+
4 a
¿−
1
верно для а
¿−
1
4
a
=
x
2
+
x
+
1
x
2
−
a
≥
0
x
≥
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
−
a
=−
x
−
1
−
x
−
1
≥
0
x
≥
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
−
a
=−
x
−
1
x
≤−
1
x
≥
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
нет решений.
Ответ при а < -
1
4
корней нет
При -
1
4
<a
¿
0
два корня х
1,2
=
1
±
√
1
+
4 а
2
При а =-
1
4
, а>0 один корень х =
1
+
√
1
+
4 a
2
3)
√
3 x
−
2
+
√
x
+
2
=а
ОДЗ:
3 x
−
2
≥
0
x
+
2
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
2
3
x
≥−
2
x
≥¿
¿
¿
{
¿
х
¿
2
3
а>0, т.к. в левой части уравнения сумма неотрицательных величин.
3х-2+2
√
3 x
−
2
√
x
+
2
+х+2=а
2
2
√
3 x
−
2
√
x
+
2
=а
2
-4х
a
2
−
4 x
≥
0
12 x
2
+
16 x
−
16
=
a
4
−
8 a
2
x
+
16 x
2
x
≥
2
3
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
{
x
2
−
2 x
(
2
+
a
2
)
+
4
+
a
4
4
=
0
x
≤
a
2
4
x
≥
2
3
D=4a
2
+
3
4
a
4
≥
0
x
1,2
=
2
+
а
2
±
1
2
а
√
16
+
3 а
2
{
x
=
2
+
a
2
−
1
2
a
√
16
+
3 a
2
, х
≤
а
2
4
2+a
2
−
1
2
а
√
16
+
3 а
2
¿
а
2
4
2a
√
16
+
3 а
2
≥
3 а
2
+
8
Обе части неравенства положительны, так как а>0
4a
2
(
16
+
3 a
2
)
≥
9 a
4
+
48 a
2
+
64
3a
4
+
16 a
2
−
64
≥
0
a
2
=
t
¿
0
3t
2
+
16 t
−
64
≥
0
8
3
t
≥
0
t
≤−
8иt
≥¿
¿
¿
{
¿
t
¿
8
3
a
2
≥
8
3
a
¿−
2
√
6
3
иа
≥
2
√
6
3
так как а
¿
0 тоа
≥
2
√
6
3
2+а
2
−
1
2
a
√
16
+
3 a
2
≥
2
3
а
√
16
+
3 a
2
≤
2 a
2
+
8
3
обе части положительны , так как а>0
a
2
(
16
+
3 a
2
)
≤
4 a
4
+
32
3
a
2
+
64
9
9a
4
−
48 a
2
+
64
≥
0
(
3 a
2
−
8
)
2
≥
0
верно для всех а.
при а
¿
2
√
6
3
уравнение имеет корень х=2+а
2
−
1
2
a
√
16
+
3 a
2
2+а
2
+
1
2
a
√
16
+
3 a
2
≤
a
2
4
2а
√
16
+
3 a
2
≤−
3 a
2
−
8
Так
как
а>0
,
то
левая
часть
неравенства
больше
0,
но
правая
часть
меньше
0.Следовательно, неравенство неверное. Значит х
2
не является корнем уравнения.
Ответ при а
¿
2
√
6
3
х=2+а
2
−
1
2
a
√
16
+
3 a
2
При а<
2
√
6
3
корней нет.
4)
(
x
−
a
)
√
x
−
a
+
(
x
−
b
)
√
x
−
b
√
x
−
a
+
√
x
−
b
=
a
−
b
, а>b
ОДЗ :
a
>
b
x
≥
a
√
x
−
a
+
√
x
−
b
≠
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
х
¿
a
√
x
−
a
+
√
x
−
b
=
0
, если х=а , х=в ,то есть а=в , но а > b , поэтому
√
x
−
a
+
√
x
−
b
≠
0
(
√
x
−
a
)
3
+
(
√
x
−
b
)
3
√
x
−
a
+
√
x
−
b
=
a
−
b
(
√
x
−
a
+
√
x
−
b
) (
x
−
a
−
√
x
−
a
√
x
−
b
+
x
−
b
)
√
x
−
a
+
√
x
−
b
=
a
−
b
2 x
−
a
−
b
−
√
x
−
a
√
x
−
b
=
a
−
b
{
√
x
−
a
√
x
−
b
=
2
(
x
−
a
)
x
¿
a
x
2
−
x
(
a
+
b
)
+
ab
=
4 x
2
−
8 xa
+
4 a
2
3x
2
−
x
(
7 a
−
b
)
+
4 a
2
−
ab
=
0
D=
(
a
−
b
)
2
>
0
при a>b
x
1,2
=
7 a
−
b
±
(
a
−
b
)
6
x
1
=
a , x
2
=
4
3
a
−
1
3
b
x
1
=
a
≥
a
верно ,
x
2
=
4
3
a
−
1
3
b
≥
a
4 a
−
b
≥
3 a
a
−
b
≥
0
верно , так как a>b
Ответ : при a>b
x
1
=
a , x
2
=
4
3
a
−
1
3
b
5) x+
√
a
+
√
x
=
a
ОДЗ :
x
≥
0
a
+
√
x
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
При х
¿
0
левая часть уравнения неотрицательна , следовательно а
¿
0
√
a
+
√
x
=
a
−
x
a
−
x
≥
0
a
+
√
x
=
a
2
−
2 ax
+
x
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a
2
−
(
2 x
+
1
)
a
+
x
2
−
√
x
=
0
a
1,2
=
2 x
+
1
±
√
4 x
2
+
4 x
+
1
−
4 x
2
+
4
√
x
2
=
2 x
+
1
±
(
2
√
x
+
1
)
2
a
=
x
−
√
x
a
−
x
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a
−
x
=−
√
x
a
−
x
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
-
√
x
≥
0, x
=
0
a
=
x
−
√
x
=
0
−
√
0
=
0
a
=
x
+
√
x
+
1
a
−
x
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
+
√
x
+
1
=
a
t=
√
x
≥
0
t
2
+
t
+
1
−
a
=
0
t
1,2
=
−
1
±
√
4 a
−
3
2
t
1
=
−
1
−
√
4 a
−
3
2
<0
t
2
=
−
1
+
√
4 a
−
3
2
≥
0
−
1
+
√
4 a
−
3
≥
0
√
4 a
−
3
≥
1
4 a
−
3
≥
1
a
≥
1
√
x
=
−
1
+
√
4 a
−
3
2
x
=
1
−
2
√
4 a
−
3
+
4 a
−
3
4
a
−
x
≥
0
x
=
4 a
−
2
−
2
√
4 a
−
3
4
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
2 a
−
1
−
√
4 a
−
3
2
≤
a
2 a
−
1
−
√
4 a
−
3
≤
2 a
−
1
−
√
4 a
−
3
≤
0
Верно для любого а . Таким образом, при
a
≥
1
x
=
2 a
−
1
−
√
4 a
−
3
2
Ответ: при а=0 х=0
при
a
≥
1
x
=
2 a
−
1
−
√
4 a
−
3
2
6)
√
7
−
x
+
√
x
−
3
=
a
Левая часть всегда положительна, поэтому а>0
ОДЗ :
7
−
x
≥
0
x
−
3
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
3
≤
x
≤
7
7
−
x
+
2
√
7
−
x
√
x
−
3
+
x
−
3
=
a
2
2
√
(
x
−
3
) (
7
−
x
)
=
a
2
−
4
a
2
−
4
≥
0
a
>
0
3
≤
x
≤
7
4 x
2
−
40 x
+
a
4
−
8 a
2
+
100
=
0
¿
¿
{
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
D=32
a
2
−
4 a
4
32a
2
−
4 a
4
≥
0
a
2
(
8
−
a
2
)
≥
0
8
−
a
2
≥
0
−
2
√
2
≤
a
≤
2
√
2
¿
a
≥
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
2
≤
a
≤
2
√
2
2
≤
a
≤
2
√
2
3
≤
x
≤
7
x
1,2
=
20
±
√
32 a
2
−
4 a
4
4
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
1
=
10
−
√
8 a
2
−
a
4
2
, x
2
=
10
+
√
8a
2
−
a
4
2
Так как
x
1
<
x
2
,3
≤
x
1
, x
2
≤
7,
то достаточно проверить чтобы
x
1
≥
3, x
2
≤
7
10
−
√
8 a
2
−
a
4
2
≥
3
10
−
√
8 a
2
−
a
4
≥
6
√
8 a
2
−
a
4
≤
4
a
4
−
8 a
2
+
16
≥
0
(
a
2
−
4
)
2
≥
0
Верно для любого а.
10
+
√
8 a
2
−
a
4
2
≤
7
10
+
√
8 a
2
−
a
4
≤
14
√
8 a
2
−
a
4
≤
4
a
4
−
8 a
2
+
16
≥
0
(
a
2
−
4
)
2
≥
0
Верно для любого а.
Ответ : при
2
≤
a
≤
2
√
2
x
1,2
=
10
±
√
8 a
2
−
a
4
2
При
a
<
2, a
>
2
√
2
решений нет.
7)
√
3 x
+
2
+
√
3 x
+
2 a
=
4
ОДЗ :
3 x
+
2
≥
0
3 x
+
2a
≥
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
≥
−
2
3
x
≥
−
2a
3
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
3 x
+
2
+
3 x
+
2a
+
2
√
3 x
+
2
√
3 x
+
2 a
=
16
√
9 x
2
+
6 x
+
6 ax
+
4 a
=
7
−
3 x
−
a
7
−
3 x
−
a
≥
0
48 x
=
a
2
−
18 a
+
49
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
≤
7
−
a
3
x
=
a
2
−
18 a
+
49
48
¿
¿
a
2
−
18 a
+
49
48
≥−
2
3
a
2
−
18 a
+
49
48
≥−
2 a
3
a
2
−
18 a
+
49
48
≤
7
−
a
3
¿
a
2
−
18 a
+
49
≥−
32
a
2
−
18 a
+
49
≥−
32 a
a
2
−
18 a
+
49
≤
112
−
16 a
¿
(
a
−
9
)
2
≥
0
(
a
+
7
)
2
≥
0
−
7
≤
a
≤
9
¿
−
7
≤
a
≤
9
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
¿
Ответ : при
−
7
≤
a
≤
9
x
=
a
2
−
18 a
+
49
48
При a<-7 , a>9 корней нет.
8)
√
x
−
a
(
x
2
+
(
1
+
2 a
2
)
x
+
2a
2
)
=
0
ОДЗ :
x
≥
a
Уравнение всегда имеет корни, хотя бы один х=а.
x
2
−
(
1
+
2 a
2
)
x
+
2a
2
=
0
D
=
(
1
−
2 a
2
)
2
≥
0
x
2,3
=
−
1
−
2a
2
±
(
1
−
2a
2
)
2
1)
уравнение имеет одно решение х=а, если
x
3
≤
a
−
1
−
2 a
2
+|
1
−
2 a
2
|
2
≤
a
|
1
−
2a
2
|≤
1
+
2a
+
2a
2
1
−
2a
2
≤
1
+
2 a
+
2a
2
1
−
2 a
2
≥−
1
−
2 a
−
2 a
2
¿
4 a
2
+
2 a
≥
0
2 a
+
2
≥
0
¿
a
≤−
1
2
, a
≥
0
a
≥−
1
¿
¿
−
1
≤
a
≤−
1
2
, a
≥
0
{
¿ ¿ ¿
¿
2)
уравнение имеет два решения а)
x
2
=
x
3
>
a
x
2
=
x
3
,
если Д=0, то есть
1
−
2 a
2
=
0, a
=±
√
2
2
−
1
−
2 a
2
2
>
a ,
−
1
−
2 a
2
>
2 a,2 a
2
+
2 a
+
1
<
0
нет решений, б)
x
2
<
a
x
3
>
a
¿
¿
−
1
−
2a
2
−|
1
−
2 a
2
|
2
<
a
−
1
−
2a
2
+|
1
−
2 a
2
|
2
>
a
¿
|
1
−
2 a
2
|>−
1
−
2 a
2
−
2 a
|
1
−
2 a
2
|>
1
+
2 a
2
+
2 a
¿
1
−
2 a
2
>−
1
−
2a
−
2 a
2
1
−
2 a
2
<
1
+
2 a
+
2 a
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
¿
2a
+
2
>
0
4 a
2
+
2 a
>
0
¿
¿
a
>−
1
a
<−
1
2
, a
>
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
¿
Или
1
−
2a
2
>
1
+
2 a
+
2a
2
1
−
2 a
2
<−
1
−
2 a
−
2 a
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a
<−
1
−
1
2
<
a
<
0
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Таким образом
a
<−
1,
−
1
<
a
<−
1
2
,
−
1
2
<
a
<
0, a
>
0
.
3)
уравнение имеет три корня, когда
x
2
>
a
x
3
≠
x
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
2
=
x
3
, D
=
0, a
=±
√
2
2
a
≠±
√
2
2
−
1
−
2a
2
−|
1
−
2 a
2
|
2
>
a
¿
¿
|
1
−
2 a
2
|<−
1
−
2 a
−
2 a
2
¿
1
−
2 a
2
<−
1
−
2a
−
2 a
2
1
−
2 a
2
>
1
+
2 a
+
2 a
2
¿
2a
+
2
<
0
4 a
2
+
2a
<
0
¿
a
<−
1
0
<
a
<
1
2
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
¿
Нет решений.
Ответ : уравнение имеет один корень при
−
1
≤
a
≤−
1
2
, a
≥
0
Уравнение имеет два корня при
a
<−
1,
−
1
<
a
<−
1
2
,
−
1
2
<
a
<
0, a
>
0
9)
1)
√
a
2
−
x
2
>
x
+
1, a
≥
0
a
≥
0
x
+
1
≥
0
a
2
−
x
2
>
(
x
+
1
)
2
¿
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a
≥
0
x
≥−
1
2 x
2
+
2 x
+
1
−
a
2
<
0
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
D=
8a
2
−
4
a)
D<0,
−
1
√
2
<
a
<
1
√
2
,
a
≥
0
−
1
√
2
<
a
<
1
√
2
,0
≤
a
≤
1
√
2
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
неравенство решений не имеет
b)
D=0,
a
1,2
=±
1
√
2
,
a
≥
0
a
1,2
=±
1
√
2
, a
=
1
√
2
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
неравенство решений не имеет
c)
D>0,
a
≥
0
a
<−
1
√
2
, a
>
1
√
2
, a
>
1
√
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
1,2
=
−
1
±
√
2 a
2
−
1
2
−
1
−
√
2 a
2
−
1
2
<
x
<
−
1
+
√
2a
2
−
1
2
, x
≥−
1
−
1
−
√
2 a
2
−
1
2
≥−
1
−
1
−
√
2 a
2
−
1
≥−
2
√
2 a
2
−
1
≤
1
2 a
2
−
1
≤
1
a
2
≤
1
1
√
2
<
a
≤
1
−
1
≤
x
<
−
1
+
√
2a
2
−
1
2
−
1
+
√
2 a
2
−
1
2
≥−
1
−
1
+
√
2 a
2
−
1
≥−
2
√
2 a
2
−
1
≥−
1
верно для любого а>
2)
a
≥
0
x
+
1
<
0
a
2
−
x
2
≥
0
,
¿
a
≥
0
x
<−
1
−
a
≤
x
≤
a
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
При
0
≤
a
≤
1
нет решений , при а > 1 решение
−
a
≤
x
<−
1
Ответ : при
0
≤
a
≤
1
√
2
нет решений
При
1
√
2
<
a
≤
1
решение
−
1
−
√
2a
2
−
1
2
<
x
<
−
1
+
√
2 a
2
−
1
2
При a>1 решение
−
a
≤
x
<
−
1
+
√
2a
2
−
1
2
10)
x
+
√
a
−
x
>
0, a
>
0
ОДЗ :
a
−
x
≥
0, x
≤
a
√
a
−
x
>−
x
1
)−
x
<
0, x
>
0
Так как
√
a
−
x
≥
0
, то неравенство выполнимо для всех
0
<
x
≤
a
2)
−
x
≥
0, x
≤
0
√
a
−
x
>−
x
a
−
x
>
x
2
x
2
+
x
−
a
<
0
x
1,2
=
−
1
±
√
1
+
4 a
2
x
≤
0
−
1
−
√
1
+
4 a
2
<
x
<
−
1
+
√
1
+
4 a
2
¿
¿
−
1
−
√
1
+
4 a
2
<
x
≤
0
{
¿ ¿¿
¿
Ответ:
−
1
−
√
1
+
4 a
2
<
x
≤
a ,
при а>0
11)
√
a
+
x
+
√
a
−
x
>
a
ОДЗ :
a
+
x
≥
0
a
−
x
≥
0
,
¿
x
≥−
a
x
≤
a
,
−
a
≤
x
≤
a
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Так как левая часть неравенства положительна, то при а < 0 неравенство не имеет
решения. При а=0 ОДЗ состоит из одного х=0, а неравенство 0 > 0 неверно. Таким
образом, при а=0 нет решений.
Пусть а > 0.
a
−
x
+
a
+
x
+
2
√
a
+
x
√
a
−
x
>
a
2
¿
a
2
−
2 a
<
0
a
>
0
,0
<
a
<
2
¿
2
√
a
2
−
x
2
>
a
2
−
2 a
1
)
{
¿ ¿ ¿
Левая
часть
неравенства
всегда
неотрицательна,
правая
часть
отрицательна.
Неравенство верно для всех
|
x
|≤
a
2)
a
2
−
2a
=
0
a
>
0
, a
=
2
¿
¿
2
√
2
2
−
x
2
>
2
2
−
2
⋅
2
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
¿
2
√
4
−
x
2
>
0
√
4
−
x
2
>
0
4
−
x
2
>
0
x
2
<
4
|
x
|<
2
3)
a
2
−
2a
>
0
a
>
0
, a
>
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
4
(
a
2
−
x
2
)
>
a
4
−
4 a
3
+
4 a
2
−
4 x
2
>
a
4
−
4 a
3
+
4 a
2
−
4 a
2
−
4 x
2
>
a
3
(
a
−
4
)
x
2
<
a
3
(
4
−
a
)
4
a
3
(
4
−
a
)
>
0
a
>
0
, a
<
4
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
¿
При 2<a<4.
Проверим условие
|
x
|≤
a
a
√
a
(
4
−
a
)
2
≤
a
√
a
(
4
−
a
)
2
≤
1
4 a
−
a
2
≤
4
a
2
−
4 a
+
4
≥
0
(
a
−
2
)
2
≥
0
Ответ : при
a
≤
0
нет решений
0
<
a
<
2,
−
a
<
x
<
a
a
=
2,
−
2
<
x
<
2
2
<
a
<
4,
−
a
√
a
(
4
−
a
)
2
<
x
<
a
√
a
(
4
−
a
)
2
a
≥
4
нет решений.
12)
a
>
0,
1
√
x
−
2
−
1
√
x
+
2
≤
a
√
x
ОДЗ:
x
>
0, x
≠
4
√
x
+
2
−
(
√
x
−
2
)
x
−
4
≤
a
√
x
4
x
−
4
≤
a
√
x
1)
0<x<4
левая часть неравенства отрицательна, а правая
положительна. Таким
образом, неравенство всегда выполняется.
2)
X>4
4
√
x
≤
a
(
x
−
4
)
16 x
≤
a
2
x
2
−
8 a
2
x
+
16 a
2
a
2
x
2
−
8
(
a
2
+
2
)
x
+
16 a
2
≥
0
x
1,2
=
4
(
a
2
+
2
)
±
8
√
a
2
+
1
a
2
x
≤
4
(
a
2
+
2
)
−
8
√
a
2
+
1
a
2
, x
≥
4
(
a
2
+
2
)
+
8
√
a
2
+
1
a
2
x
>
4
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
4
(
a
2
+
2
)
−
8
√
a
2
+
1
a
2
=
4
+
8
a
2
−
8
√
a
2
+
1
a
2
<
4
4
(
a
2
+
2
)
+
8
√
a
2
+
1
a
2
=
4
+
8
a
2
+
8
√
a
2
+
1
a
2
>
4
Таким образом, решением системы будет
x
≥
4
(
a
2
+
2
)
+
8
√
a
2
+
1
a
2
Ответ:
0
<
x
<
4, x
≥
4
(
a
2
+
2
)
+
8
√
a
2
+
1
a
2
при a>0.
13)
a
≥
0,
√
a
2
−
x
2
>
x
+
1
ОДЗ:
a
2
−
x
2
≥
0,
−
a
≤
x
≤
a
1
)
x
+
1
<
0
−
a
≤
x
≤
a
,
¿
x
<−
1
−
a
≤
x
≤
a
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
a
)−
a
>−
1,
a
<
1
a
≥
0
,0
≤
a
<
1
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
нет решений
b
)−
a
<−
1, a
>
1,
−
a
≤
x
<−
1
2
)
x
+
1
≥
0
a
2
−
x
2
>
x
2
+
2 x
+
1
,
¿
x
≥−
1
2 x
2
+
2 x
+
1
−
a
2
<
0
¿
¿
D
=
8 a
2
−
4, x
1,2
=
−
1
±
√
2 a
2
−
1
2
¿
D
≤
0,
¿
8 a
2
−
4
≤
0
a
≥
0
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
то неравенство не имеет решений.
Пусть
D
>
0, a
2
>
1
2
a
<−
√
2
2
, a
>
√
2
2
a
≥
0
, a
>
√
2
2
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
x
≥−
1
a
>
√
2
2
−
1
−
√
2a
2
−
1
2
<
x
<
−
1
+
√
2 a
2
−
1
2
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
a
)
−
1
−
√
2 a
2
−
1
2
≥−
1,
−
1
−
√
2 a
2
−
1
≥−
2,
√
2 a
2
−
1
≤
1,2 a
2
−
1
≤
1, a
2
≤
1,
−
1
≤
a
≤
1
Но
a
>
√
2
2
, следовательно
√
2
2
<
a
≤
1
b
)
x
1
<−
1, x
2
≥−
1
−
1
−
√
2 a
2
−
1
2
<−
1,
√
2 a
2
−
1
>
1, a
2
>
1, a
>
1
−
1
+
√
2 a
2
−
1
2
≥−
1,
√
2 a
2
−
1
≥−
1
выполняется для всех а из области определения, то есть для
a
>
√
2
2
Итак,
a
>
1
a
>
√
2
2
, a
>
1
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
При a>1 неравенство выполняется для
−
1
≤
x
<
−
1
+
√
2 a
2
−
1
2
Ответ:
0
≤
a
≤
√
2
2
нет решений
√
2
2
<
a
≤
1,
−
1
−
√
2 a
2
−
1
2
<
x
<
−
1
+
√
2 a
2
−
1
2
a
>
1,
−
a
≤
x
<
−
1
+
√
2a
2
−
1
2
14)
a
+
√
x
2
+
ax
≥
x
ОДЗ:
x
2
+
ax
≥
0
√
x
2
+
ax
≥
x
−
a
1
)
a
≥
0
a
)
x
2
+
ax
≥
0
x
−
a
≤
0
,
¿
x
≤−
a , x
≥
0
x
≤
a
, x
≤−
a,0
≤
x
≤
a
¿
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
b
)
x
2
+
ax
≥
0
x
−
a
≥
0
x
2
+
ax
≥
x
2
−
2 ax
+
a
2
,
¿
x
≤−
a , x
≥
0
x
≥
a
3 ax
−
a
2
≥
0
,
¿
x
=
a
=
0, x
≥
a
a
(
3 x
−
a
)
≥
0
¿
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
Так как
a
≥
0,
то
3 x
−
a
≥
0
, следовательно
x
≥
a
3
Случай х=а=0 исключаем, так как входит в
[
−
1,0
]
,
значит
a
≠
0
.
x
≥
a
x
≥
a
3
, x
≥
a
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
Итак, первый случай дал ответ при a>0.
[
x
≤−
a ,0
≤
x
≤
a
[
x
≥
a
[
, x
≤−
a , x
≥
0
Так как x<-1 ,то –a<-1, a>1
2)
a<0
a
)
x
2
+
ax
≥
0
x
−
a
≤
0
,
¿
x
≤
0, x
≥−
a
x
≤
a
, x
≤
a
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
b
)
x
2
+
ax
≥
0
x
−
a
≥
0
x
2
+
ax
≥
x
2
−
2 ax
+
a
2
,
¿
x
≤
0, x
≥−
a
x
≥
a
x
≤
a
3
, a
≤
x
≤
a
3
¿
¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
Итак, второй случай дал ответ при a<0.
[
x
≤
a
[
a
≤
x
≤
a
3
[
, x
≤
a
3
Чтобы решение не пересекалось с
[
−
1,0
]
надо, чтобы x<-1,то есть
a
3
<−
1, a
<−
3
Ответ: a<-3, a>1.