Подведение итогов проектной деятельности учащихся 9 «Б» класса

«Прогрессия вокруг нас» (2ч)

Цели урока:
 повторить все, что мы знаем о прогрессиях: определения, свойства, формулы, виды прогрессий;  подведем итоги проблемы «Связь прогресс ии с жизнью»  проверить умеем ли мы решать задачи с помощью этих знаний;  получить представление об исторических фактах, свидетельствующих о знании и практическом применении прогрессий в древности и в наше время.
Ход урока

1.Организационный

момент
-
Здравствуйте, ребята! Садитесь. Я очень рада вас видеть, и очень хочу

начать работу с вами! Посмотрите друг на друга, улыбнитесь,

приготовьтесь

к

сотрудничеству

на

уроке.
(Цель: приветствие учащихся, организация внимания школьников. Эмоциональный настрой совместной работы. Мотивация учащихся
3 мин
). Сегодня мы будем двигаться вперед и еще раз убедимся и убедим всех присутствующих в том, что… ( слайд 3) - что раздел математики «Прогрессии» является неотъемлемой частью общечеловеческой культуры; - прогрессия – это не просто математическая «игрушка», а мощный инструмент для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни; - что знания о прогрессиях были известны еще в древнем мире; - что знания по прогрессиям необходимы в банковских расчетах, в микробиологии и медицине, в строительстве и даже спорте.
Почти

весь

месяц

мы

всем

классом

готовили

исследовательский

проект

по

теме

«Прогрессии».
Дело в том, что основанием для этой работы послужили два момента: противоречия, возникшие между нами. Одни из нас считали, что прогрессии абсолютно не пригодятся в жизни, другие же были уверены в обратном. Второй момент заключается в том, некоторые задачи, вызвали у многих из нас неподдельный интерес. Например, задача о мудром Сете, изобретателе шахмат, задача о финансовой пирамиде, задача о проторговавшемся покупателе лошади. Мы назвали наш проект «Прогрессии вокруг нас». Сформулировали основополагающий вопрос: Прогрессия - это шикарная математическая «игрушка», или мощный инструмент для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни? ( слайд 4)
Проблемные вопросы
1. Какое практическое значение имеет факт размножения бактерий в геометрической прогрессии на жизнь на Земле? 2. Как используется факт размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском хозяйстве? 3. Когда скупой платит дважды? 4. Как богатеют банкиры? 5. Что знали о прогрессии люди, жившие несколько веков назад?
Учебные вопросы
(слайд 5) 1. Откуда к нам пришла арифметическая (геометрическая) прогрессия? 2. Что называется арифметической (геометрической) прогрессией? 1
3. Какими свойствами обладают арифметическая (геометрическая) прогрессии? 4. По какой формуле вычисляется n-ый член и сумма арифметической (геометрической) прогрессий? Дальше разбились
на 4 группы: историки, литераторы, микробиологи, музыканты

и экономисты
. Каждая группа готовила теоретический материал и задачи в своем направлении. Весь полученный материал затем был проанализирован и синтезирован в текстовом носителе и в презентации. К тому же каждая группа подготовила буклет по выбранной тематике. (слайд 6)
-Класс разбит на 2 команды
. Раздаются рабочие карточки командирам групп. Далее учитель объявляет тему урока (слайд 1 презентации).
Цели урока.
 повторить все, что мы знаем о прогрессиях: определения, свойства, виды прогрессий, формулы;  проверить умеем ли мы решать задачи с помощью этих знаний;  получить представление об исторических фактах, свидетельствующих о знании и практическом применении прогрессий в древности и в наше время
- Какой раздел математики мы закончили изучать ? Значит тема урока

«Прогрессии

вокруг

нас».

Каким

выпускником

школы

вы

хотите

быть?

Придумаем

качества

выпускника

1

команнда

2 команда

П-(продвинутый)

Р-

(решительный)

О-

(ответственный)

Г-

(грамотный)

Р-

(рассудительный)

Е-(естествовед)

С-(смелый)

С-

(способный)

И-

(интеллигентный)

И-(интеллектуальный)
Давайте стремиться к этому не только на уроках, но и во всех делах . Вместе с вами сегодня
мы

движемся

только

вперед
, т.к. слово
«Прогрессио»
в переводе с греческого языка обозначает
движение

вперёд
. Проведём урок под этим
девизом.
И вот в сегодняшний урок Нас поведет Красивый лозунг
“

ПРОГРЕССИО

-

ВПЕРЕД”

2.Актуализация

знаний.
(
5 мин
. Выявляет уровень опорных знаний и способов действий знаний. Выявляет пробелы в знаниях. Активизирует знания 2
учащихся. Выявляет уровень опорных знаний и способов действий знаний. Выявляет пробелы в знаниях. Активизирует знания учащихся.)
1 .
Какие прогрессии вы изучили? (арифметическая и геометрическая)
2 .
Дадим определение им.
3 .
Чем похожи?
4 .
Чем отличаются?
5 .
На слайде даны последовательности чисел.
Какие

это

последовательности?
13; 10; 7; 4;…(арифметическая) 1; 3; 9; 27;…(геометрическая) 1;3;4;5;…(последовательность) 24; 12; 6; 3;…(геометрическая) 5; 10; 25; 100;..(последовательность) 0,5;1;1,5;2;… (арифметическая) 6 . Чему равна разность арифметических прогрессий? (d=- 3, d=0,5) 7 . Найдите следующие три члена прогрессий. (следующие члены : 1) 1, -2, -5; 2) 2,5; 3; 3,5; 8) Чему равен знаменатель геометрических прогрессий? (q = 3, q = 0,5) 9) Найдите следующие три члена прогрессий. (следующие члены: 1)81; 243; 729. 2) 1,5; 0, 75; 0, 375
10) Оцените свою работу на этапе устного решения и поставьте себе оценки.
Определяют вид последовательности, обосновывают свой ответ. Выполняют задание, отвечают на вопросы учителя, высказывают свои предположения. (Включаемость в коллективное обсуждение вопросов. Развитие познавательных интересов. Умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме. Устная оценка учителя. Самооценка учащихся.)
3.Подготовка учащихся к работе на основном этапе.
(Цель: актуализация опорных знаний
5 мин.
Выявляет уровень знаний формул. Выявляет пробелы в знаниях. Показывает практическую значимость формул для решения задач) - Для решения задач по теме «Прогрессии» что необходимо знать?. (Формулы) - Чтобы решить ту или иную задачу по этой теме, нужно знать формулы. Проверим знание формул по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”.
Прогрессии

Арифметическая

(a

n

)

Геометрическая ( b

n
Определение Формула для нахождения n-го члена 3
Сумма n-первых членов прогрессии Свойства
Посмотрите

на

слайд,

проверьте

правильность

записи

формул,

исправьте

ошибки, если они есть.
Поставьте оценки в лист самооценки.
Прогрессии

Арифметическая

(a

n

)

Геометрическая ( b

n

)

Определение

Формула

для

нахождения

n-го

члена

Сумма

n-первых

членов

прогрессии

Свойства

- Какое задание вы выполняли.
(Повторяли формулы прогрессий)
- Как вы думаете, для чего вы выполняли это задание?
(Повторили формулы, которые нам понадобиться для решения задач). -
Оцените знание формул

и

поставьте

себе

оценки.

Значит мы готовы к решению задач

.
Выполняют задание, отвечают на вопросы учителя, высказывают свои предположения.
4.Этап

закрепления

знаний

и

совершенствования

способов

действий.
(Цель: содействовать усвоению учащимися изученных знаний, применение их в практических заданиях, установить правильность и осознанность изученного материала; выявить пробелыв знаниях учащихся. Провести коррекцию выявленных пробелов в знаниях учащихся
10 мин
) Организует учебное взаимодействие в группах. Предлагает работать по алгоритму. Контролирует работу учащихся, оказывает индивидуальную помощь.
- Объединимся в группы для решения задач
. (Решение задач в группах с последующей проверкой) Выполнение заданий
Арифметическая

(a

n

)

Геометрическая

( b

n

)

1) Дано: (а

n

)
арифметическая прогрессия а 1 = 5,d = 3 . Найти: а 6 ; а 1 0 . 4

Решение:
используя формулу а n = а 1 +(n -1) d а 6 = а 1 +5 d = 5+ 3· 5 = 20 а 1 0 = а 1 +9 d = 5+ 3· 9 = 32
Ответ: 20; 32

2) Дано: (b

n

)
геометрическая прогрессия b 1 = 5 ,q = 3 . Найти: b 3 ;b 5 .
Решение:
используя формулу b n = b 1 q n - 1 b 3 =b 1 q 2 = 5 ·3 2 =5· 9=45 b 5 =b 1 q 4 = 5 ·3 4 =5 · 81=405
Ответ:45; 4

3)Дано:

(а

n

)
арифметическая прогрессия а 4 =12,5; а 6 =17,5. Найти: разность арифметической прогрессии.
Решение:
1) используя свойство арифметической прогрессии имеем: 2) d =15- 12,5= 2,5
Ответ:

2,5

4)Дано: (b

n)
геометрическая прогрессия b 4 =6; b 6 =24. Найти: знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что он положительный.
Решение:
1) используя свойство геометрической прогрессии имеем: 2) q = 12:6=2.
Ответ:

5) Дано: (а

n

)
арифметическая прогрессия а 1 = 11,d = 2 . Найти: S 1 0 .
Решение:
а 1 0 = а 1 +9 d =29 используя формулу Sn имеем:
Ответ:

200.

6) Дано: (bn)
геометрическая прогрессия b 1 = 40 ,q = 2 . Найти: S 5 .
Решение:
используя формулу Sn имеем:
Ответ: 1240.

- Оцените работу соседа и поставьте оценку за вклад его в решение.

- В чем были ошибки?

- Для чего вы выполняли данное задание?
(Для того, чтобы уметь самостоятельно выбирать формулы и для решения, правильно вычислять по формулам, хорошо решить задачи по теме в ОГЭ) -Работая в группе, мы справились с поставленной задачей?
-
Где вам может пригодиться умение работать с формулами? (На других уроках)
Работают

в

группах.

Обсуждают

алгоритмы

выполнения

заданий

и

выполняют

их.

Обсуждают

алгоритмы

выполнения

заданий

и

выполняют

их.

Обсуждают

возможные

варианты

решений,

предлагают

свои

способы

решений
5
Выполняют задание. Соотносят цель и результат учебной деятельности Фиксируют степень соответствия. Намечают цели дальнейшей деятельности. Подводят итоги своей работы. Делают выводы. Оценивают свою работу
.

5.

Этап

психологической

разгрузки
.(
3 мин



)
- У Вас на столах лежат листы, на которых написаны цифры от 1 до 9. Теперь раскрасьте ряд двумя разными цветами в любом порядке. А пока Вы раскрашиваете, я расскажу про замечательного математика по фамилии Рамсей. Он жил в начале ХХ века. Им была создана теория, доказывающая, что в мире нет абсолютного хаоса. Что даже, казалось бы, самая неупорядоченная система имеет определенные математические закономерности. Вспомните, когда Вы смотрите на звезды, то может показаться, что расположены они в самом случайном порядке. Но еще в древности люди увидели там созвездия. И вот на ваших карточках казалось бы цифры раскрашены в случайном порядке. Но Рамсей доказал, что это не так, доказав следующий факт: Обратите внимание, что хотя бы три каких – либо числа одного цвета обязательно составляют арифметическую прогрессию. Как я это сделала, показано на слайде. Какие числа образуют прогрессию? (3, 6, 9) Найдите такие числа в своих рядах. (слайд 2)
Историческая справка
(слайд 3
). Презентация "Историки"
Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью, тоже равной 1. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, 6
услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую 8 и так до 64 поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. Давайте посмотрим сколько зерен попросил изобретатель у принца Сирама. Учитель. Какая первая тема, которую мы изучали в этом разделе? Ожидаемый ответ ученика. Это последовательности. Повторяем кратность на «2», «3», «5». - Формулы четных и нечетных чисел. Учитель. Давайте рассмотрим последовательности (слайд 4). Запишите n-й член каждой из последовательностей. (Ответ закрыт шторкой) Последовательности Верный ответ 1) 1, 2, 3, 4, … 2) 1, 3, 5, 7, … 3) 2, 4, 6, 8, … 4) 3, 9, 27, 81, … 5) 5, 25, 125, 625, … 6) 5 1 , 25 1 , 125 1 , 625 1 , … 7) 1, 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 … 1) n 2) (2n-1) 3) 2∙n 4) 3 n 5) 5 n 6) n       5 1 7) n 1 Учитель. Сравните ответы и оцените себя. Какие свойства последовательностей вы знаете (слайд 5) ? 7
конечные

монотонные

снизу

сверху

бесконечные

Последовательности

ограниченные

Учитель. Какая последовательность называется ограниченной? Ответ. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Пример. 1; 2 1 ; 3 1 ; …; n 1 ; … Сверху – 1(единицей), снизу 0. 1 1 0   n . Учитель. Как задаются последовательности? (Назовите способы). Ответ: 1) словестный (перечислением ее первых членов) 2) аналитический (формулой n-го члена) 3) рекурентный (указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны предыдущие члены).
Работа в группах

1.«Истинно

или

ложно?»(знание

теоретического

материала)
Применяется прием «верные и неверные утверждения». Учащимся предлагаются задания.
1группа

.

Верны

ли

данные

утверждения

(ответ

аргументируйте):
1.Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. 8
арифметическая

Виды

монотонная

Свойства

бесконечные

конечные

ограниченная

геометрическая

Прогрессии

снизу

сверху

2 . В ф о р м у л е 1 1     n n n q b b , q называется разностью геометриче ской прогрессии. 3 . n n b b q 1   4.Формула n-го члена арифметической прогрессии d a a n   1 5.Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии равна q q b S n    1 ) 1 ( 1 (подвести Итог)
2группа

Верны

ли

данные

утверждения

(ответ

аргументируйте):
1.Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2.В ф о рм ул е d a a n n    1 , d называется знаменателем арифметической прогрессии. 3 . n n a a d    1 4.Формула n-го члена геометрической прогрессии 1 1    n n q b b 5.Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии равна n a a S n n ) ( 1   (подвести Итог)
2. а) «Я сам» (Марафон)

Выполнить задание.

Каждый

ученик

решает

самостоятельно,

и

каждый

ученик

решает

одно

задание

у

доски

(заранее

разрезать

таблицу

и

каждому

ученику

раздать

по

одному

заданию)

таблица

№1

В это время Презентация "Биологи"(пока решают)

№1

В

арифметической

прогрессии
  n a
:

-10;-7;-4;-1;…

.Найти
10 a
.

№2

В арифметической прогрессии
  n c
:

-8;-6;-4;-2;…

.Найти
11 a
.

№3

Найдите

четвертый

член

геометрической

прогрессии
  n c
,

если
9
5 1 , 25 1    q c
.

№4

Найдите

третий

член

геометрической

прогрессии
  n b
,

если
2 1 , 20 1    q b
.

№5

Найдите

сумму

семи

первых

членов

арифметической

прогрессии

10;6;2;…

.

№6

Найдите

сумму

бесконечной

геометрической

прогрессии
. ;... 27 8 ; 9 4 ; 3 2
№7

В геометрической прогрессии
  ? , 0 , 18 , 8 : 7 8 6     b q b b b n
№8 Дана арифметическая прогрессия
  ? , 3 , 2 : 3 1    a d a a n
№9

Дана геометрическая прогрессия
  ? , 2 , 10 : 1 2    b q b b n
№10

Чему

равна

сумма

трех

первых

членов

арифметической

прогрессии
  . 10 , 15 : 2 1   a a a n
№11

В арифметической прогрессии
  ? , 5 , 2 : 20 1    a d a a n
№12

В геометрической прогрессии
  ? , 2 , 3 : 5 1    b q b b n
3.Перестрелка

по

теории

об

арифметической

и

геометрической

прогрессиях (определения и характеристические свойства).

Вопрос 1.
Дайте определение арифметической прогрессии. Ответ. Числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 ,…, а n … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство a n+1 = a n + d, г д е d – некоторое число (называется разностью арифметической прогрессии)
Вопрос 2
. Давайте определение геометрической прогрессии. Ответ. Числовая последовательность b 1 , b 2 , b 3 , … , b n , … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b n+1 = b n ∙q, где b n ≠ 0 и q≠ 0.
Вопрос

3
. Сформулируйте первое характеристическое свойство арифметической прогрессии. Ответ. Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего (в случае конечной арифметической прогрессии)) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов – предыдущего и последующего 2 1 1     n n n a a a . 10

Вопрос

4.
Сформулируйте первое характеристическое свойство геометрической прогрессии. Ответ. Если все члены геометрической прогрессии положительны, то 1 1     n n n b b b , т.е каждый член прогрессии, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов (этим объясняется название геометрической прогрессии).
Вопрос 5
. Сформулируйте второе характеристическое свойство конечной геометрической прогрессии. Ответ. Произведение первого и последнего членов конечной геометрической прогрессии равно произведению любых двух его членов, равноудаленных от концов данной геометрической прогрессией b 1 ∙ b n = b 2 ∙ b n-1 = … = b k ∙ b n-k+1
Вопрос 6
. Сформулируйте второе характеристическое свойство конечной арифметической прогрессии. Ответ. Сумма первого и последнего членов конечной арифметической прогрессии равна сумме двух ее членов равноудаленных от концов данной арифметической прогрессии, т.е а 1 +а n = а 2 +а n-1 = а 3 +а n-2 =…= а k +а n-k+1 .
4.Учитель.

(слайд

6)

Какие

из

предложенных

формул

относятся

к

арифметической прогрессии, а какие к геометрической прогрессии.

В это время Презентация "Литераторы"(пока решают)
b n+1 = b n ∙ q, b n ≠ 0 и q≠ 0; a n+1 = a n + d; , b n ≠ 0; d = a n+1 - a n ; a n = a 1 +(n-1) d; b n = b 1 ∙q n-1 , b n ≠ 0 и q≠ 0; 2 1 1     n n n a a a ; , b n > 0;   q q b S n n     1 1 1 , q≠ 1; n a a S n n    2 1 ; 1 ) 1 ( 1    q q b S n n , q≠ 1; n d n a S n      2 ) 1 ( 2 1 ; S n =b 1 ∙n, q=1; а 1 +а n = а 2 +а n-1 = а 3 +а n-2 =…= а k +а n-k+1 ; b 1 ∙b n = b 2 ∙b n-1 = b 3 ∙b n-2 =…= b k ∙b n-k+1 Ответ . Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия 1) a n+1 = a n + d; 1) b n+1 = b n ∙ q; b n ≠ 0 и q≠ 0. 11
2) d = a n+1 – a n ; 3) 2 1 1     n n n a a a ; 4) а 1 +а n = а 2 +а n-1 = а 3 +а n-2 =…= а k +а n- k+1 ; 5) a n = a 1 +(n-1) d; 6) n a a S n n    2 1 ; 7) n d n a S n      2 ) 1 ( 2 1 ; 2) ; 3) 1 1     n n n b b b ; b n >0. 4) b 1 ∙b n = b 2 ∙b n-1 = b 3 ∙b n-2 =…= b k ∙b n-k+1 , b n >0; 5) b n = b 1 ∙q n-1 ; b 1 ≠ 0 и q≠ 0. 6)   q q b S n n     1 1 1 , q≠ 1; 7) 1 ) 1 ( 1    q q b S n n , q≠ 1; 8) S n =b 1 ∙n, q=1;
Задачи
(слайд 7)
Задача 1.
Если для конечной геометрической прогрессии
b

1 ,

b

2 ,

b

3 ,

b

4 ,

b

5 ,

b

6 ,

b

7 ,

b

8 ,

b

9,

b

10
выполняется равенство
b

1

·



b

10

= 72
, то чему будет равна
b

2

·



b

9
;
b

3

·



b

8
?
Задача 2.
Если для конечной арифметической прогрессии
а

1,

а

2,

а

3,

а

4,

а

5,

а

6,

а

7,

а

8,

а

9,

а

10
выполняется равенство
а

1 +

а

10

= 41
, то чему будет равна сумма
а

3 +

а

8
?
Задача 3.
Найдите сумму всех членов конечной арифметической прогрессии
а

1,

а

2,

а

3,

а

4,

а

5,

а

6,

а

7,
зная, что
а

3 +

а

5

= 7.
Решение Ответ: S 7 = 24,5.
Применение прогрессий в жизни

Творческие задачи.(от творческих групп)
Но прогрессия встречается не только в литературе и биологии, но в других дисциплинах. посмотрите внимательно на слайд. Какие задачи можно составить по этим условиям. 12
Задача 2: При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? Можно ли использовать полученные знания по арифметической прогрессии для решения этой задачи? (В биологии:) Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4 см. (В физике: ) Брошенное с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. (В химии:) Заряды ядер атомов элементов, расположенных в таблице Менделеева друг за другом, отличаются на +1. Заряд ядра атома водорода (№1) равен +1. 1.
Задача от будущего медика
(слайд 8) Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч. 45 мин. Решение: Дано: а 1 =15; d=10; a n =105, 1 ч. 45 мин.=105 мин. Найти: n. a n = a 1 +(n-1)∙d; 105 = 15+(n-1) ∙10; 105 = 15+10n – 10; 13 . 78 : 78 2 12 ) 11 2 ( 12 2 11 2 1 1 2 ? 2 , 1 . ) ( 12 1 12 12 2 1 áð Îòâåò S d a S d S à à ïðîãð àðèôì à n               . 78 : 78 2 12 ) 11 2 ( 12 2 11 2 1 1 2 ? 2 , 1 . ) ( 12 1 12 12 2 1 бр Ответ S d a S d S а а прогр арифм а n              
10n = 105 – 5; 10n = 100; n = 100:10 n = 10. Ответ. Необходимо 10 процедур. 2.
Задача от эколога
(слайд 9) В искусственный водоем внесли 10 кг. одноклеточных водорослей. Определите через сколько дней масса этих водорослей превысит 1 тонну, если количество водорослей в водоеме удваивается каждые 3 дня. Дано: b 1 =10, q=2; S n =1000, 1т=1000 кг. Найти: n. Решение: 1 ) 1 ( 1    q q b S n n ; ; ; 10(2 n -1)≥1000; 2 n -1≥100; 2 n >101; 2 6 =64, 2 7 =128, значит 2 7 >101; n=7; 3∙7=21 (день). Ответ. Через 21 день масса водорослей превысит 1тонну. 2 способ решения (слайд 10) Каждый член геометрической прогрессии (последовательности), начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2. (знаменатель геометрической прогрессии) 14

1 .
Ребята, посмотрите пожалуйста на слайд. Прочитайте задачу. На каких уроках в школе вы встречали подобные задачи? Ребята, а как вы думаете, почему эта задача сегодня появилась на нашем уроке? Решите её самостоятельно.
Задача от физика
( При свободном падении тело проходит в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения. Дано: (аn) – арифм.прогрессия, а1=5, d = 10 Найти: S5 - ? Решение: Ответ: 125 м 3.
Задача ГИА
. Тем. тесты 2013 г. Лысенко (слайд 11). На первой неделе нового учебного года ученик решая 11 задач, а на каждой следующей неделе он решал на 3 задачи больше, чем на предыдущей. Сколько задач решит ученик на n-ой неделе учебного года? Решение Дано: а 1 =11, d=3. Найти: a n . a n = a 1 +(n-1) d; a n = 11+(n-1)3; a n = 11+3n-3; a n = 8+3n. Ответ. a n = 8+3n
.
15 125 5 2 10 4 5 2 5       S

Этап

подведения

итогов

занятия.

I.





Рефлексия
Каждому из учеников дается следующее задание: Заполнить таблицу№2 Данная стадия дает целостное осмысление, обобщение полученной информации. 16
17
Формулаn-го

члена

Изменение

последующего

члена

по

отношению

к

предыдущему

происходит

на или в

Как

это

число

найти

Как

называется

это

число

Формула

суммы

n-

первых членов
Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
» .
2 .

Итоги урока
(подводим итоги вместе с учениками, слайд 12-13)
.

Итог урока.

II.


 повторили все, что изучали о прогрессиях: определения, свойства, виды прогрессий, формулы;  применяли знания о прогрессиях при решении задач практической направленности; 18
 получили представление об исторических фактах, свидетельствующих о знании и практическом применении прогрессий в древности.
III.

Оценки
(самооценка, оценка группы и учителя)
.

IV.

Домашнее задание.
.
1
Составить кроссворд по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии
Задача 1.

Найдите связь между прогрессиями
(слайд 14). На связь между прогрессиями
первым

обратил
внимание
великий

Архимед.
В печати же эти мысли отчетливо
прозвучали лишь в 1544
г., когда в ы ш л а
книга

немецкого

математика

Михаила

Штифеля

«Общая

арифметика».

Штифель составил такую таблицу
. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 16 1 8 1 4 1 2 1 1 2 4 8 16 32 64 128 2 -4 2 -3 2 -2 2 -1 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 В верхней строчке написана
арифметическая прогрессия с разностью 1
. В нижней
геометрической со знаменателем 2.
Пример 1. Надо умножить 2 1 на 128. Обращаем внимание, что в таблице над 2 1 написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа и получим -1+7=6, а под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение.
Задача 2.

Составить тест по теме "Прогрессии"
( слайд 15). Тест должен содержать 5 заданий на различные формулы. Учащимся, которым это задание покажется сложным,
решите задания части 1

"Закрытый сегмент" ГИА 3000 задач № 1306, № 1313, № 1292, № 1318
.
Задача 3.

Геометрическая задача
(слайд 15). Длина сторон прямоугольного треугольника три последовательных члена возрастающей арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии, если периметр треугольника равен 120. 19 а+d
Решение: Т.к. прогрессия возрастающая, то d>0. По условию задачи больший катет обозначим через а, тогда меньший катет - а - d, а гипотенуза - а + d. P = a + a - d + a + d. Т.к. треугольник прямоугольный, то воспользуемся теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a - d) 2 + a 2 = (a + d) 2 . Т.к. эти условия должны выполняться одновременно, то решим систему                ; 0 , ) ( ) ( , 120 2 2 2 d d a a d a d a d a a              ; 0 , 2 2 , 120 3 2 2 2 2 2 d d ad a a d ad a a          ; 0 , 2 2 , 120 3 2 d ad a ad a          ; 0 , 0 4 , 40 2 d ad a a           ; 0 , 0 40 4 40 , 40 2 d d a       . 0 160 1600 , 40 d a 160d=1600; d =10. Ответ. d =10. 20 а a- d
9 . Умственная физминутка: математический анекдот: Однажды Шерлок Холмс и его неизменный спутник Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре. Сильный ветер погнал их шар в неизвестном направлении. Затем ветер несколько унялся, и они приземлились в пустынной и загадочной местности. Вскоре, однако, они заметили приближающегося к ним человека. - Не могли бы вы хотя бы приблизительно. Сказать нам. Где мы находимся? – спросил его Холмс. Человек задумался на некоторое время и затем ответил: - Почему приблизительно? Я могу ответить абсолютно точно. Вы находитесь в гондоле воздушного шара. Очередной порыв ветра понёс шар дальше в неизвестном направлении. - Чёрт бы побрал этих математиков! – раздражённо проговорил Шерлок Холмс. - А почему Вы считаете, что этот человек был математиком? – как всегда удивился Ватсон. - Ну, во–первых, прежде чем ответить, он подумал. А во–вторых, его ответ был абсолютно точен и абсолютно бесполезен для нас.
VI.

Пауза.
“Сумеешь ли ты различить?”
6

Рефлексия 1.

_________________________________
Фамилия, имя
Тест.

1 .

Результатом своей личной работы считаю, что я ..

А
. Разобрался в теории.
В.
Научился решать задачи.
С
. Повторил весь ранее изученный материал.
2 .

Что вам не хватало на уроке при решении задач?

А
. Знаний.
Б.
Времени.
С
. Желания.
Д
. Решал нормально.
3 .

Кто оказывал вам помощь в

преодолении

трудностей

на

уроке?

А
. Одноклассники.
Б
. Учитель.
С
. Учебник.
Д
. Никто. 21

А

сейчас

в

качестве

небольшой

разминки

выполним

кроссворд.
Вопросы кроссворда: 1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2. Укажите d последовательности: 5,5,5…. 3. Способ задания последовательности. 4. Разница между последующим и предыдущим членами прогрессии. 5. Элементы, из которых состоит последовательность. 6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности. 7. Функция, заданная на множестве натуральных чисел. 8 . П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , с о д е р ж а щ а я о г р а н и ч е н н о е ч и с л о ч л е н о в . 22