КАРТА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ, ПОРАЖДЕЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫМИ

СТОХАСТИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ

Термезский Государственный университет.

С.Н.НИШОНОВ

В статье рассматриваются необходимые условия для топологических эквивалентных

квадратичных стохастических операторов. В частности, точка зрения состоит в том, что

неизоморфные квадратичные стохастические операторы не являются топологическим

эквивалентными, а для меньших размеров границы классов эквивалентности взяты ниже.

Пусть

{

P

ij , k

}

i,j,k=1,m – набор неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям

P

ij , k

=

P

ij , k

≥0

и

∑

k

=

1

m

P

ij , k

=

1

На симплексе

S

m

−

1

=

{

x

=

(

x

1

,… x

m

)

:

∑

i

=

1

m

x

i

=

1, x

i

≥0

}

определим квадратичное отображение

V : S

m

−

1

→S

m

−

1

равенствами

x

k

'

=

∑

i , j

=

1

m

P

i j , k

x

i

x

j

, k

=

´

1, m .

(

1

)

Далее отображение V называется квадратичным стохастическим операторам (к.с.о.). В работе [1] был изучен

частный случай к.с.о. вида

k

=¿

x

k

(

1

+

∑

i

=

1

m

a

ki

x

i

)

, k

=

´

1, m

(

2

)

x

,

¿

|

a

ki

|

≤ 1, a

ki

=−

a

ik

и доказана, что к.с.о. (2) является гомеоморфизмом симплекса

S

m

−

1

на себя. В этой же работе введено

понятие турнира для динамических систем (2). Впоследствии оказалось, что к.с.о., имеющие неизоморфные

турниры, не могут быть топологически эквивалентными, однако, изоморфность турниров еще не

обеспечивает топологическую эквивалентность самих к.с.о. Затем в работе [2] была введена более точная

характеристика динамических систем вида (2)б а именно, карта неподвижных точек.

Цель настоящей статьи – это изучение структуры карт неподвижных точек операторов вольтеровского типа

(2).

Определение. Кососимметрическую матрицу

A

=(

a

ki

)

назовем матрицей общего положения, если все

главные миноры четного порядка положительны. Оператор V, матрица которого находится в общем

положении, также назовем оператором общего положения.

Пусьт V - совокупность всех операторов вольтеровского типа, а

V

0

−¿

подмножество операторов

общего положения. Поскольку V конечномерно

(

m

(

m

−

1

)

2

– мерный куб

)

, то в нем рассмотрим

естественную топологию.

1

0

. V

0

открытое и всюду плотное подмножество в V.

Доказательство. Определитель кососимметрической матрицы всегда неотрицателен. Главные миноры

нечетного порядка всегда равны нулю, а четного порядка неотрицательны, причем произвольно малым

возмущением, сохраняющим кососимметричность, все главные миноры четного порядка можно сделать

положительными.

Далее мы рассматриваем только лишь операторы общего положения.

1

0

.

Любая неподвижная точка оператора V имеет нечетное число ненулевых координат.

Доказательство. Пусть Х-множество неподвижных точек и

х

∈

Х

имеет четное число ненулевых

координат, Г – минимальная грань, содержащая х, и

А

г

– кососимметрическая матрица,

соответствующая сужению

V

г

. Из

х

∈

Х

следует

А

г

х

=

0

. Поскольку

х ≠0

, то

|

А

г

|

=

0,

где

|

А

г

|

– определитель главного минора

А

г

. Для любого

y

∈

R

' ' '

положим

sup py

=

{

i : y

i

≠0

}

. Пусть

sup px

=

α

. По определению, если

k

∉

a

, то k-ая строка и столбец

матрицы

А

г

состоят из нулей. Поэтому главный минор четного порядка матрицы

А

г

. (а,

следовательно, и А) с номерами строк и столбцов из

α

равен

|

А

г

|

, т.е. нулю, что противоречит

общности положения.

3

0

.

Оператор общего положения имеет конечное число неподвижных точек.

Доказательство. Если Х бесконечно, то существуют

х

1

, х

2

∈

Х

такие, что

х

1

≠ х

2

и

sup p х

1

=

sup p х

2

. Без органичения общности будем считать

х

1

, х

2

∈

∫

S

m

−

1

, и противном случае

можно перейти к соответствующему сужению на минимальную грань, содержащую

х

1

, а следовательно,

и

х

2

, поскольку

sup p х

1

=

sup p х

2

. Тогда

А х

1

=

А х

2

=

0

или

А

(

λх

1

+(

1

−

λ

)

х

2

)

=

0

.

Так как

х

1

, х

2

∈

S

m

−

1

, то прямая

λх

1

+(

1

−

λ

)

х

2

не проходит через 0. Поэтому dimker

A ≥2

,

т.е. все главные миноры порядков m и m-1 равны нулю в противоречие с

V

∈

U

0

.

Следствие. Если

x

1

≠ x

2

и

x

1

, x

2

∈

X

, то

¿

p x

1

≠

p

x

2

Из 2° и последнего следствия получаем оценку сверху для числа неподвижных точек

|

x

|

≤C

m

1

+

C

m

3

+

C

m

5

+

…

=

2

m

−

1

Итак, для операторов общего положения множество неподвижных X точек непусто и конечно.

Положим

I

=

{

1,2,. . m

}

,

α

⊂

I

и

x

(

α

)

— неподвижная точка с носителем а. Это

обозначение является корректным, поскольку не существует двух неподвижных точек с одинаковым

носителем. Пусть

Х

={

х

(

α

)

: α

⊂

I

}

— множество неподвижных точек. Будем говорить, что

неподвижные точки

х

(

α

)

и

х

(

β

)

образуют (p,q) пару, если существует грань Г

у

такая, что

γ

⊂

α

∪

β

и выполняются неравенства

A

γ

х

(

α

)

≥ 0 , A

γ

х

(

β

)

. В этом случае

х

(

α

)

назовем p-

точкой, а

х

(

β

)

−¿

q-точкой.

Элементы X изобразим в виде точек на плоскости, затем, если

х

(

α

)

и

х

(

β

)

образуют (p,q) пару,

то их соединим дугой (стрелкой), направленной от

х

(

α

)

к

х

(

β

)

.

Полученный ориентированный граф назовем картой неподвижных точек отображения V и обозначим

через

G

v

.

Приведем описание карт неподвижных точек операторов вольтерровского типа общего положения дтя

малых размерностей.

А) Случай

m

=

2

. Имеем

V : S

1

→S

1

вида

{

x

1

'

=

x

1

(

1

−

a x

2

)

x

2

'

=

x

2

(

1

+

a x

1

)

В этом случае с точностью до изоморфизма существует только лишь одна карта, состоящая из двух

неподвижных точек с координатами (1,0) и (0,1) с направлением от первой точки ко второй:

Х

={(

1,0

)

;

(

0,1

) }

.

Б) Случай т=3. При этом

V : S

2

→S

2

имеет вид

{

x

1

'

=

x

1

(

1

−

a x

2

+

b x

3

)

x

2

'

=

x

2

(

1

+

a x

1

−

c x

3

)

x

3

'

=

x

1

(

1

−

b x

1

+

c x

2

)

1) Если а, Ь, с имеют одинаковые знаки, то и карта неподвижных точек изоморфна (т.е. с точностью з

п е р е с т а н о в к и

в е р ш и н

с о в п а д а е т )

г р а ф у ,

с о с т о я щ е м у

и з

ч е т ы р е х

т :

-

-

т р и

и з

к о т о р ы х

п о с л е д о в а т е л ь н о

с о е д и н е н ы

р е б р а м и ,

а

ч е т в е р т а я

т с ж

изолирована.

2 )

Е с л и

з н а к и а ,

Ь ,

с

н е

о д и н а ко в ы ,

т о

Х = { ( 1 , 0 , 0 ) ;

( 0 , 1 , 0 ) ;

( 0 , 0 , 1

к а р т а

н е п о д в и ж н ы х

т о ч е к

и з о м о р ф н а

г р а ф у ,

с о с т о я щ е м у

и з

т р е х

Т

: -

Е Е

со стоком в третьей точке.

Следствие. При

m

=

3

существует не менее двух классов эквивалентности к.с.о. вольтерровского

типа.

В )

С л у ч а й

m

=

4

.

П р и

э т о м

V : S

3

→S

3

п р и в о д и т с я

к

о д н о м у

и з -

следующих четырех видов:

1

¿

{

x

1

'

=

x

1

(

1

+

a x

2

+

b x

3

+

c x

4

)

,

x

2

'

=

x

2

(

1

−

a x

1

+

d x

3

+

e x

4

)

,

x

3

'

=

x

3

(

1

−

b x

1

−

d x

2

−

f x

4

)

,

x

4

'

=

x

4

(

1

−

c x

1

−

e x

2

+

f

x

3

)

.

где коэффициенты

a , b , c , d , e , fϵ

¿

.

Граф состоит из четырех точек с ориентациями

(

2,1

)

,

(

3,1

)

.

(

4,1

)

.

(

3,2

)

,

(

3,4

)

и

(

4,2

)

.

I

2

¿

{

x

1

'

=

x

1

(

1

−

a x

2

−

b x

3

+

c x

4

)

,

x

2

'

=

x

2

(

1

+

a x

1

−

d x

3

+

e x

4

)

,

x

3

'

=

x

3

(

1

+

b x

1

+

d x

2

−

f x

4

)

,

x

4

'

=

x

4

(

1

−

c x

1

−

e x

2

+

f x

3

)

.

З д е с ь

т а к

ж е

к о э ф ф и ц и е н т ы

a , b , c , d , e , fϵ

¿

.

Т о г д а

г р а ф

с о с т о и т из

ш е с т и

т о ч е к

с

о р и е н т и р о в а н н ы м и

р е б р а м и .

( 1 , 2 ) ,

( 1 , 3 ) ,

( 4 , 1 ) ,

( 2 , 3 ) .

( 4 , 2 )

-

и (3,4).

3

¿

{

x

1

'

=

x

1

(

1

+

a x

2

+

b x

3

+

c x

4

)

,

x

2

'

=

x

2

(

1

−

a x

1

−

d x

3

+

e x

4

)

,

x

3

'

=

x

3

(

1

−

b x

1

+

d x

2

−

f x

4

)

,

x

4

'

=

x

4

(

1

−

c x

1

−

e x

2

+

f x

3

)

.

Граф состоит из четырех точек с ориентированными ребрами (2,1), (3,1), (4,1), (4,2), (2,3) и (3,4).

4

¿

{

x

1

'

=

x

1

(

1

−

a x

2

−

b x

3

−

c x

4

)

,

x

2

'

=

x

2

(

1

+

a x

1

−

d x

3

+

e x

4

)

,

x

3

'

=

x

3

(

1

+

b x

1

+

d x

2

−

f x

4

)

,

x

4

'

=

x

4

(

1

+

c x

1

−

e x

2

+

f x

3

)

.

Граф состоит из четырех точек с ориентированными ребрами

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3,4) и (4,2).

Следствие.

П р и

m

=

4

с у щ е с т в у е т

н е

м е н е е

ч е т ы р е х

к л а с с о в

эквивалентности к.с.о. вольтерровского типа.

ЛИТЕРАТУРА

1.

Г а н и х о д ж а е в

Р.

Н .

Квадратичные стохастические операторы, функцпп Ляпунова

и турниры //Матем. сб. 1992. Т. 183. № 8. С. 19-140.

2.

Г а н и х о д ж а е в Р. Н. Карта неподвижных точек п функции Ляпунова для одного

класса дискретных динамических систем Матем. заметки. 1994. Т. 56 № 5.

С. 40-49

С. N. Nishonov.

.

THE MAP OF FIXED POINTS FOF. THE DYNAMIC SYSTEMS GIVEN BIRTH

QUADRATIC STOCHASTICAL OPERATORS

(Summary)

In this paper is studied necessary concilia.tts of the topological equivalency of the quadratical stochastical

operators. Panic ally, topological nonequivalency is spoken about quadratic stochastical operators and was taker.

:re .ever boun dares of the number class equivalency for the little dimension position.