Методическая разработка по теме: «

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

МНОГРАННИКОВ».

(Геометрия 10 класс, один или сдвоенный урок).

Переход к изучению стереометрии в 10 классе сопряжён у учащихся с известными

трудностями восприятия пространственных моделей в силу недостаточно развитого

абстрактного мышления. Решение стереометрических задач требует, как вычислительных

и логических навыков, так и практического умения изображать пространственные фигуры

и их сечения различными плоскостями. Урок призван, с помощью предлагаемой методики

и новых информационных технологий, облегчить понимание материала.

1.

ЦЕЛИ УРОКА:

- образовательная: познакомить учащихся с методами построения сечений

многогранников, выработать и освоить алгоритм построения сечений;

- развивающая: сформировать у учащихся наглядные представления о

пространственных фигурах, сечении их различными плоскостями, развить

пространственное мышление, развить доказательную монологическую речь

учащихся, их абстрактное мышление;

- воспитательная: привить учащимся навыки аккуратности выполнения

графических работ, развить навыки работы в команде с последующим

самостоятельным доведением до логического конца поставленной задачи, научить

находить ошибки в решении путём анализа полученного результата;

2.

ЗАДАЧИ УРОКА:

- актуализировать опорные знания по стереометрии;

- развить пространственные представления учащихся;

- научить учащихся пользоваться алгоритмом построения сечений многогранников

различной степени сложности;

- научить учащихся строить логическую цепочку рассуждений, доказывающую

правильность или ошибочность выполненного задания;

- проверить степень овладения материалом с помощью практикума и теста.

3.

ТИП УРОКА – повторение пройденного и изучение нового материала;

4.

ОБОРУДОВАНИЕ:

- мультимедийный комплекс (компьютер, проектор, экран);

- раздаточный материал.

5.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

- анализ поставленной задачи, актуализация изученного материала, поиск

положений, необходимых для реализации задачи (технология «барометр»);

- «мозговой штурм» при поиске путей решения задачи;

- информационно-коммуникативные методики.

6.

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Предметные:

- улучшение пространственных представлений, абстрактного мышления учащихся;

- повышение интереса к стереометрии в результате лучшего понимания проблемы;

- умение находить правильный путь решения поставленной задачи;

- умение обобщать полученный результат, доказывать его правильность;

- формирование навыков монологической речи и публичного выступления.

- освоение специфической деятельности по получению нового знания, его

преобразованию и применению.

Метапредметные:

- освоение учащимися универсальных учебных действий (познавательных,

регулятивных и коммуникативных) и способность их использования в

познавательной практике;

- способность к построению индивидуальной образовательной траектории;

- владение навыками учебно-исследовательской и проектной деятельности.

Личностные:

- способность учащихся к саморазвитию и личностному самоопределению.

7. ПЛАН УРОКА:

- актуализация опорных знаний (8-14 минут);

- постановка задачи (3-7 минут);

- изложение нового материала (12-18 минут);

- закрепление изученного материала (9-20 минут);

- проведение теста для проверки качества усвоения материала (8-20 минут);

- подведение итогов урока (5-10 минут).

ХОД УРОКА.

а) Актуализация опорных знаний:

- повторение аксиом стереометрии и следствий из них;

- повторение понятий: параллельные прямые, пересекающиеся прямые,

скрещивающиеся прямые;

- повторение понятий: пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей,

- повторение понятий: прямая, параллельная плоскости, параллельные плоскости,

свойства параллельных плоскостей.

Результаты актуализации знаний проверяются при решении задач, требующих

обоснованного ответа. Учащиеся получают раздаточный материал для устной работы с

учителем в интерактивном режиме, карточки «да» и «нет». Один даёт аргументированный

ответ. После ответа остальные учащиеся поднимают карточки с ответом «да» или «нет»

(согласны или нет). Если появляется другой вариант ответа, выслушивается решение

оппонента. В результате обсуждения класс приходит к единственно верному решению.

Общий уровень владения материалом определяется учителем по количеству карточек с

правильным ответом.

Дан тетраэдр (рис.1) Ответить на вопросы.

1. Пересекаются ли прямые:

- BC и AC? Да, пересекаются в точке С.

- MN и AD? Нет, скрещиваются.

- MN и AB? Нет, скрещиваются.

- MN и BC? Да, пересекаются в точке F.

- BD и AC? Нет, скрещиваются.

- AD и BC? Нет, скрещиваются.

2. Пересекается ли прямая и плоскость:

- MN и ( ADC) ? Да, в точке N.

- MN и ( ABD)? Да, в точке М.

- MN и ( ABC)? Да, в точке F.

- MN и (BDC)? Нет, MN лежит в плоскости (BDC).

3. Пересекаются ли плоскости:

- (AMN) и (BCD)? Да, по прямой MN.

- (AMN) и (ABD)? Да, по прямой AM.

- (AMN) и (ACD)? Да, по прямой AN.

- (AMN) и (ABC)? Да, по прямой AF.

Рис. 1

N

Дан прямоугольный параллелепипед (рис.2) Ответить на вопросы.

1. Пересекаются ли прямые:

- MN и BC? Нет, скрещиваются.

- MN и A`D`? Нет, скрещиваются.

- MN и CD? Да, т.к. лежат в одной плоскости и не параллельны.

- MN и CD`? Да, т.к. лежат в одной плоскости и не параллельны.

2. Пересекаются ли прямая и плоскость:

- MN и (A`AB)? Нет, т.к. MN лежит в параллельной плоскости.

- MN и (ABC)? Да.

3. Пересекаются ли плоскости:

- (AMN) и (ABC)? Да, т.к. имеют две общие точки.

- (AMN) и (ADD`)? Да, т.к. имеют две общие точки.

- (AMN) и (BCC`)? Да, т.к. имеют две общие точки.

- (AMN) и (A`B`C`)? Да, т.к. имеют две общие точки.

Рис. 2

б) Постановка задачи.

- «Что значит построить сечение многогранника плоскостью?»;

- «Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?»;

- «Как задаётся плоскость?»;

- «Какие многоугольники могут получаться в сечении тетраэдра, параллелепипеда

плоскостью?

- «Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении

многогранника плоскостью?»; От чего это зависит?»;

- «Когда можно считать, что задача на построение сечения завершена?»;

- «Как проверить правильность построения сечения?»

в) Изложение нового материала.

Задача состоит в построении пересечения многогранника и плоскости. Это могут

быть: «пустая» фигура (многогранник и плоскость не пересекаются), точка, отрезок,

многоугольник. Если пересечение многогранника и плоскости многоугольник, то он

называется сечением многогранника плоскостью. Именно такой случай нам интересен.

Будем считать секущей плоскостью любую плоскость, по обе стороны от которой

имеются точки данного многогранника. Она должна пересекать грани многогранника по

отрезкам, которые являются частью прямой, по которой пересекаются плоскость сечения и

грань многогранника. Для его построения необходимо знать две точки: лежащие в

секущей плоскости и в плоскости рассматриваемой грани. Часть следа, лежащая в

плоскости грани, представляет собой сторону сечения. Важно заметить, что каждая точка

пересечения со стороной грани или её продолжением, лежит в плоскости другой грани.

Перед изложением материала учащимся предлагается методом «мозгового штурма»

в группах по 3-4 человека с помощью своих абстрактных представлений изобразить

сечения тел различными плоскостями (рис.3) Отводится время на то, чтобы учащиеся

обменялись результатами своей работы и оценили работу друг друга. Учитель отмечает

правильные решения и те решения, в которых есть «рациональное зерно», предлагает

найти ошибки в тех сечениях, которые построены неверно, обосновать, в чём заключается

ошибка.

Алгоритм построения сечений многогранников.

1.

Если известны две точки секущей плоскости, лежащие в плоскости одной грани, то

через них проводим прямую. Часть прямой, лежащая в этой грани есть сторона

сечения.

2.

Если есть общая прямая плоскости сечения и плоскости грани, то строим точку

пересечения этой прямой с прямыми, содержащими рёбра этой грани. После чего

выясняем, нельзя ли вернуться к пункту 1.

3.

Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим

вспомогательное сечение, содержащее какие-нибудь две из данных точек.

После построения в параллелепипеде трёх сторон сечения, остальные можно

строить параллельно, т.к. секущая плоскость пересекает параллельные грани по

параллельным отрезкам, либо продолжать строить по предложенному алгоритму,

оставив параллельность для проверки правильности построения сечения.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, M и N.

АК : КD = 1 : 2 ; BN : NC = 1 : 3 ; DM = MC (рис. 4)

Решение:

1. Так как точки M и N лежат в плоскости одной грани (BDC) - соединяем их.

MN – сторона искомого сечения.

2.

Точки M и K также лежат в плоскости одной грани (ADC) - соединяем их.

KM – сторона искомого сечения.

3.

Больше нет двух точек, лежащих в плоскости одной грани, поэтому ищем точку

пересечения MN с ребром DB грани (BDC). Точка F, принадлежит, как плоскости

(BDC), так и плоскости (ADB). Точки K и F лежат в плоскости одной грани –

соединяем их. Часть этой прямой KQ – сторона искомого сечения.

4.

Так как точки Q и N лежат в плоскости одой грани (ABC), соединяем их.

QN – сторона искомого сечения.

5. KMNQ – искомое сечение.

Рис. 4

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки: M, N и P.

AM : MA`= 3:1; B`N : NC`= 1:3; DP = PC (рис. 5)

Решение:

1.

Так как никакие из данных точек не лежат в плоскости одной грани, строим

вспомогательное сечение, содержащее отрезок MP. Получаем вспомогательное

сечение AA`KP.

2.

Ищем точку пересечения прямой MP со стороной вспомогательного сечения А`K.

Получаем точку R, которая лежит, как во вспомогательной плоскости, так и в

плоскости грани A`B`C`D`

3.

В плоскости грани A`B`C`D` получили две точки: данную точку N и найденную

точку L. Часть прямой RN отрезок LN является стороной искомого сечения.

4.

В плоскости грани AA`B`B получили две точки: данную точку М и найденную

точку L. Соединяем их отрезком ML, который является стороной искомого сечения.

5.

Ищем точку пересечения LN c ребром D`C` грани A`B`C`D`. Получаем точку E,

которая лежит, как в плоскости грани A`B`C`D`, так и в плоскости грани DD`C`C.

6.

В плоскости DD`C`C получили две точки: данную точку Р и найденную точку Е.

Соединяем их. Часть прямой РЕ отрезок PS является стороной искомого сечения.

7. В плоскости грани BB`C`C получили две точки: данную точку N и найденную

точку S. Соединяем их отрезком SN, который является стороной искомого сечения.

8.

Ищем точку пересечения PS с ребром DD` грани DD`C`C. Получаем точку F,

которая лежит, как в плоскости грани DD`C`C, так и в плоскости грани AA`D`D.

9.

В плоскости грани AA`D`D получили две точки: данную М и найденную точку F.

Соединяем их. Часть прямой MF отрезок ТМ является стороной искомого сечения.

10. В плоскости грани ABCD получили две точки: данную точку Р и найденную Т.

Соединяем их отрезком РТ, который является стороной искомого сечения.

11. Построенное сечение MLNSPT является искомым.

Рис. 5

Свойства правильно построенного сечения.

1.

Вершины сечения должны лежать на рёбрах многогранника;

2.

Стороны сечения должны лежать в гранях многогранника;

3.

В каждой грани многогранника должно лежать не более одной стороны сечения;

4.

Отрезки, образующие секущую плоскость, лежащие в параллельных гранях,

должны быть параллельны.

Учащиеся получают раздаточный материал – пять многогранников с построенными

сечениями (рис. 6). После анализа ожидается аргументированный ответ, по какому

признаку учащийся определяет, что сечение построено неверно.

Р

ис. 6

г) Закрепление изученного материала.

Учащиеся получают раздаточный материал с исходными данными для построения

сечений (рис. 3 - тот же самый, который предлагался им для построения сечения с

помощью абстрактных представлений). Проводится практикум. Проверка правильности

построений осуществляется на демонстрационной доске (презентация).

д) Проведение теста.

Учащиеся выполняют задачу на построение для проверки качества усвоения

материала и получают индивидуальные домашние задания.

е) Подведение итогов урока.

Вопросы учителя:

- «Что нового узнали учащиеся на уроке?»;

- «Понятен ли был им предложенный материал?»;

- «Интересен ли им был материал урока?»;

- «Насколько эффективен был поиск решения в группе или индивидуальные

размышления более предпочтительны?»;

- «Повлиял ли урок на их пространственные представления?»;

Методические аспекты организации урока.

Основные результаты применения новых современных технологий заключаются в

осознании учащимися эффективности совместной работы по поиску пути решения задачи,

умении самостоятельно доводить её до логического конца, умении провести рефлексию и

коллективный анализ результатов. Во время обсуждения выявляются учащиеся с

нестандартным мышлением и нестандартным подходом к решению задачи и это не

обязательно отличники. Принцип «мозгового штурма» раскрепощает ребят, позволяет

предлагать самые невероятные решения. Ребята проявляют инициативу, влияют на ход

образовательного процесса, что позволяет им черпать своё вдохновение в процессе

познания, находить оптимальные пути для решения задачи в – коллективной и

индивидуальной деятельности.

Методика ориентирована на стандарты 2-го поколения, и позволяет создавать

учащимся собственный интеллектуальный продукт, сравнивать его качество с

имеющимися образцами, учит умению отстаивать свою концепцию. Универсальные

умения, которые приобретают учащиеся – постановка цели, моделирование конкретной

задачи, поиск путей её решения при коллективном обсуждении, самостоятельное

доведение намеченного решения до конечного продукта, анализ результатов,

доказательство того, что поставленная цель достигнута, сопоставление пути решения

задачи с другими возможными решениями, формулировка и, при необходимости,

коррекция выводов.

Литература.

1.

Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 10-11», Москва, Просвещение, 2012 год.

2.

Богушевский К.С. «Первые уроки стереометрии в 1Х классе», Москва, Учпедгиз,

1955 год.

3.

Статьи раздела «Преподавание математики» Фестиваля педагогических идей

«Первое сентября».

4.

Материалы лекций и семинаров Некрасова В.Б. в АППО г. Санкт-Петербурга.

5.

Коренчук Л.А., Смелая Н.Ю., Сравнительная таблица «ТОГИС в свете ФГОС».

ПРИЛОЖЕНИЕ

1.

Содержание диска

2.

Домашнее задание

3.

Презентация к уроку

СОДЕРЖАНИЕ ДИСКА

1. Анкета участника

2. Методическая разработка урока

3. Презентация к уроку

4. Материалы домашнего задания