Методика решения геометрических задач основного

государственного экзамена

Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать

задачи, то решайте их.

Д. Пойа.

Одним из важных предметов курса математики является геометрия. В процессе

изучения у учащихся должны сформироваться глубокие и прочные знания предмета, а также умения

осмысленно их применять. Однако опыт работы учителей математики показывает, что качество

геометрических знаний и умений учащихся основной школы остается невысоким. Это объясняется

тем,

что

геометрия

по

сравнению

с

другими

дисциплинами

математического

цикла

является

относительно сложным предметом, на ее изучение традиционно отводится небольшое количество

времени. И поэтому существует проблема: как в таких условиях обеспечить высокий уровень знаний

учащихся.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся.

К сожалению,

геометрия – один из самых нелюбимых детьми предметов. Это объясняется, прежде всего, тем, что

редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы

или

формулы.

Большинство

задач

требует

применения

разнообразных

теоретических

знаний,

доказательства

утверждений,

справедливых

лишь

при

определенном

расположении

фигуры,

применение различных формул. Приобрести навык в решении задач можно, лишь решив достаточно

большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Заметим,

что наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего

дошкольного и младшего школьного возраста. А геометрию ученик начинает изучать в 12-13 лет. К

этому времени

непосредственный интерес к ее освоению уже практически утрачен, еще по-

настоящему не проявившись Изучить форму тела, изображать тело на плоскости, на доске, на бумаге,

научиться

анализировать,

рассуждать,

доказывать,

развивать

пространственное

мышление

-

это

основные задачи обучения математики в школе.

Но, несмотря на это, значимость геометрии велика и

учителю предстоит огромная работа по привитию учащимся интереса к этому предмету, следствием

чего является знание его и хорошие результаты при сдаче экзамена.

Для представления пространственных образов и их изображения

используют наглядные

пособия, к которым относятся окружающие предметы, техническое оборудование и изготовленные

модели.

При

решении

геометрической

задачи

необходимо

рассмотреть

все

возможные

случаи

взаимного

расположения

элементов

фигуры.

Решение

задачи,

допускающей

различные

конфигурации, будет неполным и ошибочным, если ограничиться рассмотрением лишь одного из

возможных случаев. Решая такие задачи, важно не ошибиться, приняв частное за общее.

Основные этапы решения задач:

Затруднения у школьников часто возникают при выборе нужного геометрического факта. Учащимся

можно предложить, например, следующую схему решения задач на вычисление:

1. . Изучение теоретического материала, составление опорного конспекта

Получив задачу, первое, что нужно сделать, - разобраться, что это за задача, каковы её условия, в чем

состоят её требования, т.е. провести анализ задачи. Этот анализ и составляет первый этап процесса

решения задачи.

2. Решение задач по готовым чертежам. Выполнить схематический чертеж к задаче. Выполняя

чертеж (рисунок) надо стремиться сделать его соответствующим условиям задачи. Так, если сказано,

что некоторый угол вдвое больше другого или отрезки перпендикулярны, отразить это на чертеже,

Хороший чертеж – это удобный для восприятия наглядный способ записи условия задачи, он может

стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. В тоже время надо

отчетливо понимать, что даже самый аккуратный чертеж сам по себе ничего не доказывает. Все, что

увидено из чертежа, должно быть обосновано соответствующим логическим выводом.

3. Решение ключевых задач. Выбрать теоретические сведения, необходимые для решения задачи.

Начиная решать задачу, использовать определения и свойства входящих в задачу данных и искомых

элементов,

вести

рассуждения,

например:

треугольник

равнобедренный,

следовательно,…,

две

касательные

проведены

из

одной

точки,

следовательно,…,

окружность

описана

около

прямоугольного

треугольника,

следовательно,…

и

т.п.

Вспомнить

теоремы,

в

которых

связаны

данные и искомые элементы задачи, вспомнить похожие задачи.

4. Рассмотрение различных способов решения одной задачи

. Анализ задачи и построение её

схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения задачи. Этот поиск

способа решения и составляет четвертый этап процесса решения задачи. Когда способ решения задачи найден,

необходимо его осуществить.

5.

Решение различных задач обязательного уровня.

6. Решение задач повышенного уровня, нестандартных задач.

Методы решения задач:

При

решении

геометрических

задач

обычно

используются

три

основных

метода:

геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из

ряда известных теорем: метод подобия, метод площадей, координатный метод, векторный метод,

метод

дополнительного

построения;

алгебраический

–

когда

искомая

геометрическая

величина

вычисляется

на

основании

различных

зависимостей

между

элементами

геометрических

фигур

непосредственно

или

с

помощью

уравнений:

метод

введения

вспомогательного

элемента;

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других -

алгебраическим.

Какой бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно,

от

знания

теорем

и

умения

их

применять.

Проанализировать каждый метод

в плане развития

(формирования)

у

обучающегося

логического

мышления,

интуиции,

систематизации

знаний,

расширения общеобразовательного кругозора, накопления полезного опыта.

При

решении

геометрических

задач

нет

единых

алгоритмов

и

большинство

ребят

сталкиваются с трудностями. С чего начинать? Как решать? На что опираться? Надо знать ключевые

задачи, а из большого списка теорем уметь выбирать необходимую, это сделать не так просто.

Для

этого необходимо умение работать с геометрическим чертежом, умение рассматривать и выделять на

чертеже фигуры, нужные для решения. Анализируя условие задачи, учащиеся могут выделить

нужные связи и отношения на чертеже. Для этого требуются хорошие знания основных понятий

и теорем, умение анализировать, преобразовывать, переформулировать задачу, вести рассуждения,

вычленять проблему, то есть достаточно высокая логическая подготовка. Поэтому на первых годах

обучения геометрии необходимо научить учащихся делать чертежи к задачам.

Обучению

учащихся

приемам

работы

с чертежом

способствуют

упражнения

на

готовых

чертежах, которые оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и

теорем. Дают возможность в

течение минимума

времени

усвоить и повторить

значительно

больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках.

Хороший чертёж это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, он

может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. Но в то же

время надо отчётливо понимать и понимать, что даже самый аккуратно, выполненный при помощи

циркуля и линейки чертёж, сам по себе ничего не доказывает. Всё, что «увидено» на чертеже, должно

быть обосновано, нужно сделать его соответствующим условиям задачи. Так, если сказано, что

некоторый угол вдвое больше другого или отрезки перпендикулярны, отразите это на чертеже. Если

на чертеже соблюдены пропорции и соотношения, заданные в условии задачи, например, прямой

угол на чертеже выглядит прямым, а произвольный треугольник выглядит не как правильный, то

такой

чертёж

поможет

увидеть

некоторые

особенности

геометрической

фигуры

полезные

для

решения задачи. Необходимо избегать усложнения чертежа, поэтому, полезно выполнять выносные

чертежи.

Целесообразно

использовать

таблицы,

основу построения которых

представляет

аналогичные таблицы Д. Пойа «Как решать задачу». Рассмотрим пример таких таблиц.

Таблица №1

Геометрическая задача

№

п/п

содержание

1

Прочти внимательно содержание задачи

2

Сделай

соответствующий

условию

чертеж.

Изобрази

все

возможные

конфигурации,

отвечающие на первый взгляд условиям задачи, а затем с помощью рассуждений отбросить

лишние

3

Отметь на чертеже данные

4

Запиши условие: выдели в задаче данные и искомые

5

Запиши требуемые формулы и теоремы в черновик

6

Составь алгоритм решения

7

Проверь правильность решения, сопоставь использованные формулы и теоремы

8

Запиши ответ в соответствии с условием задачи

Таблица№2

Задача на доказательство.

№

п/п

содержание

1

Прочти внимательно задачу на доказательство.

2

Сделай соответствующий условию чертеж.

3

Отметь на чертеже данные.

4

Запиши условие.

5

Составь алгоритм доказательства

6

Запиши требуемые формулы и теоремы, ключевые задачи в черновик

7

Запиши заключение.

8

Всесторонне обдумай заключение. Нельзя ли его перефразировать, не изменяя смысла,

попробуй сопоставить его с другими (тебе известными) положениями

9

Предположим, что утверждение истинно.

10

Попытайся найти связь между заключением и условием. Если эту связь непосредственно

установить нельзя, попробуй установить ее посредством других (ранее известных тебе)

положений.

11

Если и после этого установить связь затрудняешься, то попытайся, согласно

предположению истинности заключения, сделать дополнительное построение

Таблица №3

№

п/п

условие

обоснование

1

установить равенство отрезков,

можно, доказав:

а) что они имеют одинаковую длину;

б) что они являются соответственными сторонами

равных фигур и т.д.

2.

установить равенство углов,

можно, доказав:

а) что они имеют одинаковую угловую меру;

б) что они являются соответственными углами равных

или подобных фигур и т.д.

3.

установить, что прямые

параллельные между собой,

можно, доказав:

а) что обе прямые перпендикулярны к третьей прямой;

б) что каждая из них порознь параллельна третьей

прямой и т.д.

4.

установить, что две прямые

взаимно перпендикулярны,

можно, доказав:

а) что они образуют равные смежные углы;

б) что они являются биссектрисами двух смежных

углов и т.д.

В 2020 году выпускные экзамены за 9 класс будут сдавать школьники, которые первыми в 2010

году начали учиться по новым стандартам – ФГОС. Новые ФГОСы предполагают

системно-

деятельностный

подход,

значит

на

первом

плане

не

знания,

а

умения

школьников.

Поэтому

существенные изменения в КИМах будут. В последующие годы изменения будут и в ЕГЭ.

24 задача – планиметрическая задача на теоретические знания

25 задача – на доказательные рассуждения

26 задача – на умение выполнять действия с геометрическими фигурами.

Задачи 24-26 требуют развернутого ответа и оцениваются в два балла, требующие от обучающегося

хорошей математической подготовки.

Сформулируем некоторые утверждения, так называемые ключевые задачи, содержащиеся в

школьном учебнике лишь в форме задач, как теоремы, так как они часто используются при решении

задач

,

поэтому

ее

знание

учащимися

обязательно.

Разворачивающаяся

система

задач,

с

одной

стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с

другой,

позволяет увидеть

взаимосвязи

отдельных

тем

школьного

курса

математики.

Поэтому

составленная

данным

методом

система

задач

является

эффективным

средством повторения,

обобщения и систематизации учебного материала.

1.Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные

прилежащим сторонам (свойство биссектрисы).

То есть

AC

CB

=

AM

MB

(Смотри рисунок к задаче 1).

2.Если ДС касательная, а СА хорда этой окружности (смотри рисунок к задаче 1), то

⦟

ДСА равен

половине дуги АС.

3.Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей

секущей на её внешнюю часть равна квадрату касательной. AF

2

= AN ∙AM.

4. Медиана, проведенная к гипотенузе, равно половине гипотенузы (свойство медианы).

5. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на

два треугольника, подобных исходному (свойство высоты).

Задача 1. Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и MB =10.

Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку

С, пересекает

прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Решение.

По свойству биссектрисы треугольника

AC

CB

=

AM

MB

=

5

10

, то есть

Углы DCA и DBC равны по свойству угла между касательной и хордой. Следовательно,

треугольники BDC и CDA подобны по двум углам.

Тогда BD=2 CD и CD=2(BD-15). Отсюда, CD=2(2 CD-15), CD=4CD-30, CD = 10.

Ответ: 10.

Задача 2

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь

параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 6.

Решение.

Так как ABCD параллелограмм, а AK и BK – биссектрисы углов A и B, то точка K равноудалена от

сторон AB и BC (см. рисунок). По условию задачи точка K удалена от стороны AB на расстояние 6,

следовательно, от стороны BC она также удалена на 6. Получаем, что высота параллелограмма

(красная линия на рисунке) равна h=2∙6 = 12 . Тогда площадь параллелограмма можно найти как

S = BC · h = 6 · 12 = 72.

Ответ: 72.

Рассмотрим несколько примеров из типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике.

Задача типа №24

1.

Высота, опущенная из вершины ромба, делит противоположную сторону на отрезки равные 24 и 2,

считая от вершины острого угла. Вычислите длину высоты ромба.

2.

Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в

точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите

∠

КСВ, если

∠

АВС = 20°.

3.

Найдите боковую сторону АВ трапеции АВСД, если углы АВС и ВСД равны соответственно 45



и

120



, а СД=40.

4.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 35 и 125. Найдите высоту, проведенную к

гипотенузе.

5.

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90



. АС=6, ВС=8. Найдите медиану СК этого

треугольника.

Решение задачи 1: AH = 24, HD = 2. Найти ВН.

В С

АД = АН + НД = 24 + 2 = 26.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН:

АВ = 26, АН = 24. По теореме Пифагора вычислим

ВН² = АВ² - АН² = 676 – 576 = 100

ВН = 10

А Н Д

Ответ: 10

Задачи типа №25

1.

В

треугольнике

с

тупым

углом

ВАС

проведены

высоты

ВВ



и

СС



.

Докажите,

что

треугольники АВ



С



и АВС подобны.

2.

Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке К, лежащей на

стороне ВС. Докажите, что К середина ВС.

3.

В параллелограмме АВСД точка Е середина стороны АВ. Известно, что ЕС=ЕД.

Докажите, что параллелограмм прямоугольник.

4.

Окружности с центрами в точках I и L пересекаются в точках А и В, причем точки I и L

лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IL перпендикулярны.

Решение задачи 1:

Доказать: треугольники АВ

1

С

1

и АВС

В

1

С

1

Так как угол ВАС тупой, высоты ВВ

1

и СС

1

лежат на

продолжениях сторон АВ и АС.

Диагонали четырехугольника ВВ

1

СС

1

пересекаются,

А то он

выпуклый, а поскольку углы ВВ

1

С и АС

1

С

прямые, то около него можно описать окружность.

Тогда

углы

СВ

1

С

1

и

С

1

ВС

равны

как

вписанные

углы,

В

С опирающиеся на дугу СС

1.

Следовательно,

треугольники АВ

1

С

1

и АВС подобны по двум углам.

Задачи типа №26

1.

Середина М стороны АД выпуклого четырехугольника АВСД равноудалена от всех его

вершин. Найти сторону АД, если ВС=11, углы В и С соответственно равны 126



и 99



.

2.

В

трапеции

АВСД

боковая

сторона

АВ

перпендикулярна

основанию

ВС.

Окружность

проходит через точки С и Д и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е

до прямой СД, если АД=12, ВС=10.

3.

В параллелограмме АВСД проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности,

вписанной в треугольник АВС. Расстояние от точки О до точки А и прямых АД и АС

соответственно равны 13, 7, 5. Найдите площадь параллелограмма АВСД

4.

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 12 и 45

от вершины А. Найти радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся

луча

АВ, если cos ВАС=

√

15

4

Решение задачи 1:

М – середина АД, угол В равен 126



, угол С равен

99



,

сторона ВС = 11. Найти сторону АД.

С

В



Так как точка М равноудалена от всех вершин



четырехугольника

АВСД,

то

он

вписан

в

окружность

и АМ=МВ=МС=МД как радиусы.

По свойству вписанного в окружность четырехуголь-

ника, сумма противолежащих углов равна 180



.

ВСД + ВАД = 180



А



Д

99



+ ВАД = 180



, ВАД=81



.

М

Так

как

МА=МВ

следует

треугольник

АВМ

равнобедренный и углы МАВ и МВА равны 81



. Угол МВС = 126 – 81 = 45



. Треугольник ВМС

равнобедренный с углом 45



при основании, тогда угол ВМС равен 90



. Таким образом треугольник

ВМС прямоугольный и равнобедренный. Из этого треугольника следует по теореме синусов

ВМ

sin ВСМ

=

ВС

sin ВМС

и

ВМ

sin 45

=

ВС

sin 90

. Отсюда

ВМ

=

ВС sin 45

sin 90

=

11

√

2

2

.

Ответ:

11

√

2

2

.

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки

длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 54.

2. В треугольнике ВСЕ

∠

С

=

60

0

,

СЕ : ВС

=

3 :1

.

Отрезок СК – биссектриса треугольника.

Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен

8

√

3

.

О т в е т: 18.

3.

Дан

треугольник АВС.

Его

высота BD

равна

30.

Из

основания Е

биссектрисы АЕ

опущен

перпендикуляр EF на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если

АВ : АС

=

7 :8

.

О т в е т:16.

4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь

треугольника BLD, если известны длины сторон треугольника АВС:

АВ

=

6,5

см;

ВС

=

7,5

см;

АС

=

7

см.

О т в е т: 2,25.

5.

В

треугольнике АВС

биссектриса

угла С пересекает

сторону АВ

в

точке D. Найдите площадь

треугольника ADC, если

АС

=

5

,

АВ

=

6

,

ВС

=

7

.

О т в е т:

5

√

6

2

.

6.

В

треугольнике АВС

АВ

=

2

,

АС

=

3

,

ВС

=

4

. Найдите отношение, в котором точка

пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.

О т в е т: 1:2.

7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка,

соединяющего

точки

пересечения

биссектрис

углов

при

основании

с

боковыми

сторонами

треугольника.

О т в е т: 4,8.

Умение решать задачи – одна из важных составляющих в обучении математики. А если умеешь

решать

задачу

несколькими

способами,

то

можно

смело

браться

за

решение

любой

задачи.

Постепенно,

решая

задачу

за

задачей,

приобретаешь

некоторый

опыт,

что

позволит

развить

математическое чутьё.

Литература:

1.

Д. Пойа Как решить задачу -М.:1959 г.

2.

Медведева О.С., Смирнова И.М. Геометрия: Система заданий для контроля обязательного

уровня подготовки выпускников основной средней школы. - М. : Вентана-Граф, 2005

(Архангельск : ИПП Правда Севера). - 203 с. : ил.;

3.

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии.-М.: Просвещение,

1992.

4.

Гайштут А., Литвиненко Г. Планиметрия: задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС:

Магистр-S, 1998.

5.

Балаян Э.Н.Лучшие задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ: 7-11 классы

-Ростов-на-Дону: Феникс, 2013

6.

Ященко И.В. ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты.

7.

Сайты