ЕГЭ - «Экономические» задачи повышенного

уровня сложности

В системе школьного обучения, важной составляющей является подготовка

ученика к сдаче единого государственного экзамена. Так в 2015 году

выпускникам впервые была предложена задача с экономическим

содержанием. В 2017 году эта задача была включена во вторую часть

профильного уровня под номером 17. Несмотря на рост выполнения заданий

повышенного уровня сложности, немногие учащиеся берутся на экзамене за

решение этой задачи. В аналитических данных ФИПИ указывается, что

правильно решили эту задачу менее 1% экзаменуемых. Таким образом,

существует проблема подготовки выпускника, связанная с решением

экономических задач повышенного уровня сложности.

Основные понятия и формулы

Слово

«процент»

происходит

от

латинского

слова

pro

centum,

что

буквально переводится «за сотню», или «со ста».

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто),

которое

в

процентных

расчетах

часто

писалось

сокращенно

cto.

Отсюда

путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту

произошел современный символ для обозначения процента.

Процент – это сотая часть чего-либо. А в математике говорят, что один

процент – это сотая часть числа. Само же число, о котором идет речь, всегда

составляет 100%

Банковский депозит – это определенная денежная сумма (или драгоценные

металлы, акции крупных фирм и т.д.), которую клиент передает финансовому

учреждению (коммерческому или государственному банку) на определенный

временной период.

Вклад – это денежная сумма, которая отдается на хранение с целью

получения дополнительных процентов в качестве прибыли.

Срочный вклад — депозит под проценты, внесённый на определённый срок

и изымаемый полностью по истечении обусловленного срока.

Накопительный вклад — возможность пополнения депозита в течение

всего срока действия договора.

Банковский процент – это плата за пользование заемными средствами

(плата за кредит, депозит, заем, и др.).

Начисление банковских процентов может выполняться двумя способами:

простой и сложный процент.

Простой процент – за основу расчетов всегда в течении срока договора

принимается сумма кредита (депозита).

Сложный процент – в каждом последующем периоде сумма, на которую

насчитывается процент, увеличивается на размер процентов, полученных в

предыдущем периоде.

Традиционно более выгодными принято считать депозиты по которым банк

начисляет сложные проценты. По кредитам ситуация обратная. Выгодным

считается процент, рассчитываемый не на всю сумму кредита, а на остаток

невозвращенных банку денежных средств.

Формулы расчета процентов

1. Формула расчета доли в процентном отношении.

Пусть задано два числа: A

1

и A

2

. Надо определить, какую долю в

процентном отношении составляет число A

1

от A

2

.

Р

=

А

1

А

2

∙ 100

Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200

Р

=

10

200

∙ 100

=

5

2. Формула расчета процента от числа.

2

Пусть

задано

число

A

2

.

Надо

вычислить

число

A

1

,

составляющее

заданный процент P от A

2

.

А

1

=

А

2

∙ Р

100

Пример. Банковский кредит 10000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов

составит.

Р

=

10000 ∙ 5

100

=

500

(руб)

3. Формула увеличения числа на заданный процент.

Пусть задано число A

1

. Надо вычислить число A

2

, которое больше

числа A

1

на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от

числа, получаем:

А

2

=

А

1

+

А

1

∙

Р

100

или

А

2

=

А

1

∙

(

1

+

Р

100

)

Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма

долга составит:

А

2

=

10000 ∙

(

1

+

5

100

)

=

10000 ∙ 1,05

=

10500

(руб)

Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с

НДС составляет:

А

2

=

1000 ∙

(

1

+

18

100

)

=

1000 ∙ 1,18

=

1180

(руб)

4. Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число A

1

. Надо вычислить число A

2

, которое меньше

числа A

1

на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от

числа, получаем:

А

2

=

А

1

−

А

1

∙

Р

100

или

А

2

=

А

1

∙

(

1

−

Р

100

)

Пример. Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда денежная сумма к

выдаче за минусом подоходного налога (13%) составляет:

А

2

=

10000 ∙

(

1

−

13

100

)

=

10000 ∙ 0,87

=

8700

(руб)

5. Формула вычисления исходной суммы.

3

Пусть

задано

число

A

1

,

равное

некоторому

исходному

числу

A

2

с

прибавленным процентом P. Надо вычислить число A

2

. Иными словами:

знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Имеем,

А

1

=

А

2

+

А

2

∙

Р

100

или

А

1

=

А

2

∙

(

1

+

Р

100

)

Тогда,

А

2

=

А

1

1

+

Р

100

Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС – 18%. Стоимость без НДС

составляет:

А

2

=

1180

1

+

0,18

=

1000

(руб)

6. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых

процентов.

Если

проценты

на

депозит

начисляются

один

раз

в

конце

срока

депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.

S

=

K

+

K ∙

P

100

∙

d

D

, где

K ∙

P

100

∙

d

D

- это сумма процентов (доход)

S — сумма банковского депозита с процентами,

K — первоначальная сумма (капитал),

P — годовая процентная ставка,

d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,

D — количество дней в календарном году (365 или 366).

Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год

по ставке 20 процентов.

S

=

100000

+

100000 ∙

20

100

∙

365

365

=

120000

(руб) – сумма банковского депозита с

процентами

100000 ∙

20

100

∙

365

365

=

20000

(руб) – доход

4

Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней

по ставке 20 процентов годовых.

S

=

100000

+

100000 ∙

20

100

∙

30

365

=

101643,84

(руб)

Доход: 101643,8 – 100000 = 1643,84 (руб)

7. 1. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента

на процент. Формула расчета сложных процентов.

Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные

промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами

вычисляется по формуле сложных процентов.

S

=

K ∙

(

1

+

P

100

∙

d

D

)

n

где:

S — сумма депозита с процентами,

К — сумма депозита (капитал),

P — годовая процентная ставка,

n — число периодов начисления процентов.

Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по

ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S

=

100000 ∙

(

1

+

20

100

∙

30

365

)

3

=

105013,02

(руб) – сумма банковского депозита с

процентами

105013,02 – 100000 = 5 013.02 (руб) – доход

7.2.

Формула сложных процентов.

Если

процентная

ставка

дана

не

в

годовом

исчислении,

а

непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов

выглядит так

5

S

=

K ∙

(

1

+

P

100

)

n

где:

S — сумма депозита с процентами,

К — сумма депозита (капитал),

P — процентная ставка,

n — число периодов начисления процентов.

Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с

ежемесячным начислением процентов по ставке 1,5% в месяц.

S

=

100000 ∙

(

1

+

1,5

100

)

3

=

104567,84

(

руб

)

Доход составил: 104567,84 – 100000 = 4567,84 (руб)

Рассмотренные

выше

задачи

являются

«кирпичиками»

из

которых

в

дальнейшем будет складываться решение нашей «экономической» задачи.

Вывод формул

Как оказалось, при решении «экономических» задач на экзамене нельзя

пользоваться формулами, которые не изучаются в школе. А ведь именно эти

формулы (формулы нахождения простых и сложных процентов) в

значительной мере помогают при решении рассматриваемых задач.

Выведем эти формулы самостоятельно.

Для этого рассмотрим два типа задач: с начислением процентов на вклад и

начислением процентов на кредит.

ЗАДАЧА 1: Вкладываем деньги в банк, открыв накопительный вклад

Положим в банк 3 млн. рублей под 15% годовых.

(В=3 млн.руб – ежегодная сумма взноса)

Вспомним, что:

Р

=

1

+

Р

100

6

Другими словами можно сказать, что сумма на нашем счёте ежегодно будет

увеличиваться в 1,15 раза.

Давайте посчитаем, сколько денег будет на нашем счёте после каждого года:

В первый год, когда мы только начнём откладывать деньги, никакие проценты

не накопятся, т. е. в конце года мы отложим три миллиона рублей:

В=3m (сумма взноса = 3 миллиона рублей)

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого

года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15.

Однако в течение второго года мы также доложили еще три миллиона рублей.

Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому

что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

3m

⋅

1,15+3m

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены

проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15.

И опять же, в течение всего года мы еще отложили три миллиона рублей:

(3m

⋅

1,15+3m)

⋅

1,15+3m

Четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего

года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том

числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется

еще три миллиона, потому что в течение четвертого года мы также

откладывали деньги:

((3m

⋅

1,15+3m)

⋅

1,15+3m)

⋅

1,15+3m

А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к

концу четвертого года откладывания денег:

((3m

⋅

1,15+3m)

⋅

1,15+3m)

⋅

1,15+3m = (3m

⋅

1,15

2

+3m

⋅

1,15+3m)

⋅

1,15+3m =

=3m

⋅

1,15

3

+3m

⋅

1,15

2

+3m

⋅

1,15+3m = 3m(1,15

3

+1,15

2

+1,15+1) =

=3m(1+1,15+1,15

2

+1,15

3

)

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у

нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Вспомним, что если геометрическая прогрессия задана элементом b

1

, а также

знаменателем q, то сумма элементов будет вычисляться по формуле:

S

n

=

b

1

∙

q

n

−

1

q

−

1

7

В нашем случае b

1

=1; q=1,15

Теперь мы можем посчитать сумму:

S

4

=

1 ∙

1,15

4

−

1

1,15

−

1

=

5

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма

увеличится в пять раз, т. е. составит 3m

∙

5 = 15 миллионов.

Но нашей целью было не просто решить задачу, а увидеть закономерность,

которая дала бы возможность записать формулу, позволяющую найти

итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через

проценты, которые начисляет банк.

Получили:

S

=

В ∙

(

1

+

Р

100

)

n

−

1

(

1

+

Р

100

)

−

1

где:

S – общая сумма вклада

В – ежегодная сумма взноса

n – число периодов начисления процентов

ЗАДАЧА 2: Проценты по кредитам

Возьмем два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору мы

должны платить x рублей в месяц. Допустим, что кредит мы взяли по ставке

20% годовых. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет три

года.

Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только мы вышли из банка у нас в кармане два

миллиона, и это и есть наш долг.

К = 2m ( кредит = 2 миллиона рублей)

Затем спустя один год на сумму задолженности будут начислены проценты.

Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить

исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей

формуле:

Р

=

1

+

Р

100

8

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

1

+

20

100

=

1,2

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. В конце первого

года на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза.

Сразу после этого нам будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. x

рублей в год:

2m

⋅

1,2 − x

Далее к концу второго года уже на эту сумму будут вновь начислены

проценты:

(2m

⋅

1,2 − x)

⋅

1,2 − x

И вновь мы вносим платеж в размере x рублей.

Затем к концу третьего года сумма нашей задолженности еще раз

увеличивается на 20%:

((2m

⋅

1,2 − x)

⋅

1,2 − x)1,2 − x

И по условию за три года мы должны полностью расплатиться, т. е. после

внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть

равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

((2m

⋅

1,2 − x)

⋅

1,2 − x)1,2 – x = 0

Решим это уравнение:

(2m

⋅

1,2

2

− x

⋅

1,2 − x)

⋅

1,2 – x = 0

2m

⋅

1,2

3

– x

⋅

1,2

2

– x

⋅

1,2 – x = 0

2m

⋅

1,2

3

= x

⋅

1,2

2

+ x

⋅

1,2 + x

2m

⋅

1,2

3

= x (1,2

2

+1,2+1)

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех

элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке

возрастания элементов:

2m

⋅

1,2

3

= x (1+1,2+1,2

2

)

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии.

Запишем:

9

b

1

=1; q=1,2

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

S

3

=

1∙

1,2

3

−

1

1,2

−

1

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими

параметрами (b1;q) считается по формуле:

S

n

=

b

1

∙

q

n

−

1

q

−

1

Подставляем эту формулу в наше выражение:

2 m ∙ 1,2

3

=

x ∙

1,2

3

−

1

1,2

−

1

А теперь, запишем эту формулу в общем виде:

К ∙

(

1

+

Р

100

)

n

=

x ∙

(

1

+

Р

100

)

n

−

1

(

1

+

Р

100

)

−

1

где:

К – сумма кредита

x – сумма платёжа

Р

100

– процентная ставка

n – сроки предоставления кредита

Эта формула связывает проценты, кредиты, платежи и сроки.

Именно с помощью этой формулы и формулы суммы геометрической

прогрессии решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по

математике.

Решение задач .

Задача 1.

31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под

12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого

следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то

10

есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей.

Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными

платежами (т.е. за три года)?

Решение:

1 год:

2 год:

=

3 год:

После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен

нулю. Решим полученное уравнение.

Ответ: x = 2916000 рублей.

Как видим, этот вариант записи решения не очень эффективен, так как

содержит промежуточные вычисления величин. А в условиях экзамена

(стрессовая ситуация) это может привести к ошибочным вычислениям и, как

следствие, к неверному решению задачи.

Применим другую запись решения этой задачи.

Решение:

Пусть S = 6 944 000 – величина кредита,

x – искомая величина ежегодного платежа.

Первый год: долг: 1,125S;

платеж: x;

остаток: 1,125S – x.

11

Второй год: долг: 1,125(1,125S – x);

платеж: x;

остаток: 1,125(1,125S – x) – x.

Третий год: долг: 1,125(1,125(1,125S – x) – x;

платеж: x;

остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.

Единственное уравнение, которое надо решить:

1,125(1,125(1,125S – x) – x) – x = 0

1,125

3

∙

S = 3,390625x

x

=

1,125

3

∙ 6944000

3,390625

x = 2916000

Ответ: 2 916 000 рублей.

При решении этих задач можно заметить некоторую закономерность и,

оформив решение в общем виде, получить выражение для описания долга по

кредиту на любое количество лет.

Если S - сумма кредита,

n =

1

+

р

100

, где р - процентная ставка,

х – сумма ежегодных выплат;

I год: S·k – х

II год:

(

Sk

−

x

)

k

−

x

=

S k

2

−

kx

−

x

III год:

(

S k

2

−

kx

−

x

)

k

−

x

=

S k

3

−

k

2

x

−

kx

−

x

IV год:

(

S k

3

−

k

2

x

−

kx

−

k

)

n

−

x

=

S k

4

−

k

3

x

−

k

2

x

−

kx

−

x

и т.д.

n

−

ый год : S k

n

−

k

n

−

1

x

−

k

n

−

2

x

−

⋯

−

k

2

x

−

kx

−

x

Воспользуемся данным выводом при решении следующей задачи.

Задача 2.

31 декабря 2017 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под

некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря

12

каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму

долга (то есть увеличивает долг на р%), затем Родион переводит очередной

транш. Если он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит

долг за четыре года. Если по 2 674 100 рублей, то за два года. Под какой

процент Родион взял деньги в банке?

Решение:

Пусть S – сумма кредита,

k

=

1

+

p

100

– увеличенная процентная ставка

суммы ежегодных выплат:

1 464 100 обозначим в (на четыре года),

2 674 100 обозначим с (на два года).

В общем виде рассчитаем оплату кредита за два года и за четыре года.

I. За два года:

S k

2

−

kc

−

c

II. За четыре года:

S k

4

−

k

3

b

−

k

2

b

−

kb

−

b

=0

{

S k

2

−

kc

−

c

=

0

S k

4

−

k

3

b

−

k

2

b

−

kb

−

b

=

0

Решим полученную системы:

{

S

=

kc

+

c

p

2

S

=

p

3

b

+

p

2

b

+

pb

+

b

p

4

k

2

=

−

b

b

−

c

В полученное выражение подставим числовые значения.

k

2

=

−

1464100

1464100

−

2674100

=

1464100

1210000

=

1,21

k

=

√

1,21

=

1,1

1

+

p

100

=

1,1

p

=

10

Ответ: 10%

13